文档介绍：1扩散动力学方程一一菲克定律
1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶(Fourier)于1822年建立的导热方程,建立定量公式。
在也时间内,沿X方向通过X处截面所迁移的物质的量侦与X处的1扩散动力学方程一一菲克定律
1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶(Fourier)于1822年建立的导热方程,建立定量公式。
在也时间内,沿X方向通过X处截面所迁移的物质的量侦与X处的浓度梯度成正比:
AmxAAt
Ax
dmC
Adt dx
根据上式引入扩散通量概念有:
距再工——
(7-1)
图7-1扩散过程中溶质原子的
分布
式(7-1)即菲克第一定律。
式中J称为扩散通量,常用单位是mol/(cm2•s);
竺浓度梯度;dx
D扩散系数,它表示单位浓度梯度下的 1:::
通量,单位为cm2/s或m2/s; 气
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相 [
J-
反见图7-2。
图7-2溶质原子流动
的方向与浓度降低的方
微观模型:
向相一致
设任选的参考平面1、平面2上扩散原子面密度分别为n1和n2,若n1=n2,则无净扩散流。
假定原子在平衡位置的振动周期为t则一个原子单位时间内离开相对平衡位置跃迁次数的平均值,即跃迁频率「为
图7-3一维扩散的微观
模型
r=1 (7-2)
T
由于每个坐标轴有正、负两个方
向,所以向给定坐标轴正向跃迁的几率
是-r。
6
设由平面l向平面2的跳动原子通
量为J12,由平面2向平面1的跳动原
子通量为J21
J12=6nV
J21=6n2r
(7-3)
(7-4)
注意到正、反两个方向,则通过平面1沿x方向的扩散通量为
J=J—J=—T(n—n)
1 12 21 6 1 2
而浓度可表示为
(7-5)
1-nn
商=云
(7-6)
式(7-6)中的1表示取代单位面积计算e表示沿扩散方向的跳动距离
(见图7-3),则由式(7-5)、式(7-6)得
J=-「(C—C)5=—-V(C—C)5=—1rs2竺=—D竺 (7-7)
16 1 2 6 2 1 6dxdx
式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式,其中
d=1rs2 (7-8)
6
式(7-8)反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系,是扩散
系数的微观表达式。
三维情况下,对于各向同性材料(D相同),则
J=J+J+J=—D(i竺+j竺+k竺)=—DV-Cxyz dxdxdx
式中:V=iJj1+k区为梯度算符。
dxdxdx
对于各向异性材料,扩散系数D为二阶张量,这时,
(7-9)
fdC)
fJ}
J
=
fD
11
D
D12D13]
DD
—-
办
dC
—
^z
21
〔D
、31
22 23
DD}
3233
办
-手"dx)
(7-10)
对于菲克第一定律,有以下三点值得注意:
(1)式(7-1)是唯象的关系式,其中并不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程。
(2)扩散系数反映了扩散系统的特性,并不仅仅取决于某一种
组元的特性。
(3)式(7-1)不仅适用于扩散系统的任何位置,而且适用于扩
散过程的任一时刻。其中,八D、竺可以是常量,也可以是变量,
dx
即式(7-1)既可适用于稳态扩散,也可适用于非稳态扩散。
当扩散处于非稳态,即各点的浓度随时间而改变时,利用(7-1)不容易求出C(x/)。但通常的扩散过程大都是非稳态扩散,为便于求出C(x/),菲克从物质的平衡关系着手,建立了第二个微分方程式。
则有
Am=(JA-J^A)At
Am_J-J =——x xIAx
AxAAt Ax
图7-4扩散流通过微小体
积的情况
当^^、At〉°时,有告=-J
将式(7-1)代入上式得
竺工(D竺)
dtdxdx
(7-11)
如果扩散系数d与浓度无关,则式(7-11)可写成
dC「82C
—^D
8t 8x2
(7-12)
般称式(7-11)、式(7-12)为菲克第二定律。
(1)直角坐标系中
8C
8t
8 C 8 da 8 8C、
——(D——)+—(D——)+—(D——)
8x 8x 8y 8y 8z 8z
(7-13)
当扩散系数与浓度无关,即与空间位置无关时,
8C
8t
—D(
82C8x2
82C82C、
ayr=)
如图7-4所示,在扩散方向上取体积元AAx,Jx和J愆分别表示流入体