文档介绍：数列求和方法
四川省中江中学胡志华
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数列求和上高中数学中的重要知识点,是高考重点考察的内容这一,以求解为主,数列的通项和求和相结合是高考试题常采用的方式.
求数列的前几项和,通常要掌握以下解法:
数列求和方法
四川省中江中学胡志华
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数列求和上高中数学中的重要知识点,是高考重点考察的内容这一,以求解为主,数列的通项和求和相结合是高考试题常采用的方式.
求数列的前几项和,通常要掌握以下解法:
直接法
由等差,等比数列的求和公式,求和,注意比照数列的讨论
解1:求面数列的前几项和
1+1、,…,…
解:前几项和为=(1+++…+)+[1+4+7+…+(3n-2)]
设S1=1+1+++…+
S2=1+4+7+…+(3n—2)=
当a=1时,Sn=S1+S2=n+=
当a0时,Sn=S1+S2=+
数列求和问题假设可以利用等差,等比数列的前n项和公式,那么直接用解可以解决问题,在详细问题中,既要擅长从数列的通项入手,观察数列的特点和变化规律,又要注意项数.
分组转化法(也可叫拆项法)
把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解,
例2:求和:
(1);
(2)
思维启迪:(1)写出通项转化为数列{n}和数列分别求和再相加。
(2)写出通项,可转化为两个等比数列,和常数列{2}的求和问题.
解(1)由于==+,
∴=(1+)+(2+)+(3+)+…+(+)
=(1+2+3+…+)+(+++…+)
=+=-+1
(2)当=±1时,=4。当≠±1时,
=++…+
=++…+
=(++…+)+2+
=++2
=+2。
(x=±1)
(x≠±1)
某些数列的求和是将数列分解转化为假设干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就要通过对数列通项构造特点进展分析研究,将数列的通项合理分解转化,特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论。
例序相加法
把数列正着写和例着写相加,(即等差数列求和公式的推导过程的推广)
例3:求证:+3+5+…+(2+1)=(+1)
证明:设=++…(2+1)
那么=(2+1)+(2-1)+…+
∴=(+2)(++…+)=(2+2)
等式得证
由等差数列{2n+1}中和首末两端等间隔的两项和相等,数列
中和首末两端,间隔等的两项相等,因此可以采用倒序相加法,在等比数列求解中,也可借助于此法解题.
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和正负相消剩下首尾假设干项。
例4:设正数数列{an}的前几项和sn满足。
求出数列的通项公式。
设。记数列{bn}的前几项和为tn,求tn。
解:〈1>当时,
整理得:
当n=1时,解得a1=1
数列{an}是以a1=1为首项,以d=2为公差的等差数列
<2>
使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保存了哪些项,由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项和负数项的项数必是一样多,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前