文档介绍：1
抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(x)=kx(k≠0)
f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数f(x)=xn
f(xy)=f(x)f(y)[或]
指数函数f(x)=ax(a〉0且a≠1)
f(x+y)=f(
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抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(x)=kx(k≠0)
f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数f(x)=xn
f(xy)=f(x)f(y)[或]
指数函数f(x)=ax(a〉0且a≠1)
f(x+y)=f(x)f(y)[
对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)[
正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosx
f(x+T)=f(x)
正切函数f(x)=tanx
余切函数f(x)=cotx
----—-——多为简单函数和复合函数的定义域互求.
例1。假设函数y=f(x)的定义域是[-2,2],那么函数y=f(x+1)+f(x-1)的定义域为。
解:f(x)的定义域是,:f(x)的定义域是A,求的定义域问题,相当于解内函数的不等式问题。
练习:函数f(x)的定义域是,求函数的定义域。
例2:函数的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域。
评析:函数的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。
练习:定义在上的函数f(x)的值域为,假设它的反函数为f-1(x),那么y=f—1(2-3x)的定义域为,值域为。
二、求值问题--——-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3。①对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,那么f(2001)=_______.
解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手:令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得:f(0)=0,∴f(1)=,
2
②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)和y=f—1(x+2)互为反函数,那么f(2020)=。
解析:由于求的是f(2020),可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2,又f(0)=0,通过递推可得f(2020)=-4918.
(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。假设g(x)=f(x)+1—x,那么g(2002)=
解:由g(x)=f(x)+1—x,得f(x)=g(x)+x-1。而f(x+5)≥f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x—1+5,又f(x+1)≤f(x)+1,所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1,即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x)。所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),
故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.
练习:(x)的定义域为,对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,那么()2..2000
。(,原式=16)
3、对任意整数函数满足:,假设,那么C
A.-1B。1C。19D。43
4、函数f(x)为R上的偶函数,对都有成立,假设,那么=()(B)
。1D。0
5、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x),又Y=f(x)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x),那么Y=f—1(16)为()(A)
A)B)C)8D)16
三、值域问题
3
例4。设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在,使得,求函数f(x)的值域。
解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。假设f(0)=0,那么f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这和存在实数,使得成立矛盾,故f(0)≠0,必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立,因此,,又因为假设f(x)=0,那么f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0和f(0)≠0矛盾,所以f(x)〉0。
四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法,
(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)
解:令u=1+sinx,那么sinx=u-1(0≤u≤2),那么f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=—x2+3x+1