文档介绍：量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
量纲分析与无量纲化
物理量的量纲
长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
L, M, T
速度 v 的量纲[v]=LT-1
导出量纲
加速度 a 的量纲[a]=LT-2
力 f 的量纲[f]=LMT-2
引力常数 k 的量纲[k]
对无量纲量,[]=1(=L0M0T0)
量纲齐次原则
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例:单摆运动
l
mg
m
求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
1, 2, 3 为待定系数,为无量纲量
(1)的量纲表达式
对比
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2,
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍
p= f(x,y,z)的形式为
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
设 f(q1, q2, , qm) = 0
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
Pi定理(Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
量纲矩阵记作
线性齐次方程组
有 m-r 个基本解,记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
则
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
量纲分析示例:波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
m=6, n=3
Ay=0 有m-r=3个基本解
rank A = 3
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
F(1, 2 ,3 ) = 0与
(g,l,,v,s,f) = 0 等价
为得到阻力 f 的显式表达式
F=0
未定
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价