文档介绍：平面向量量
向量有关关概念::
(1)向向量的概概念:既既有大小小又有方方向的量量.(向向量可以以平移)。。
(2)零零向量::长度为为0的向量量叫零向向量,记记作:,注意意零向量量的方向向是任意意的;
(3)单单位向量量:长度度为
平面向量量
向量有关关概念::
(1)向向量的概概念:既既有大小小又有方方向的量量.(向向量可以以平移)。。
(2)零零向量::长度为为0的向量量叫零向向量,记记作:,注意意零向量量的方向向是任意意的;
(3)单单位向量量:长度度为一个个单位长长度的向向量叫做做单位向向量(与共线的的单位向向量是));
(4)相相等向量量:长度度相等且且方向相相同的两两个向量量叫相等等向量,相等向量有传递性;
(5)平平行向量量(也叫叫共线向向量)::方向相相同或相相反的非非零向量量、叫做平平行向量量,记作作:∥,规定零零向量和和任何向向量平行行。提醒:
①相等向向量一定定是共线线向量,但但共线向向量不一一定相等等;
②两个向向量平行行与与两两条直线线平行是是不同的的两个概概念:两两个向量量平行包包含两个个向量共共线,但两条条直线平平行不包包含两条条直线重重合;
③平行向向量无传传递性!!(因为为有);
④三点共共线共线线;
(6)相相反向量量:长度度相等方方向相反反的向量量叫做相相反向量量。的相相反向量量是-。。
向量的表表示方法法:
(1)几几何表示示法:用用有向线线段表示示,如,注注意起点点在前,终终点在后后;
(2)符符号表示示法:用用一个小小写的英英文字母母来表示示,如等等;
(3)坐坐标表示示法:在在平面内内建立直直角坐标标系,以以与轴、、轴方向向相同的的两个单单位向量量,为基底底,则平平面内的的任一向向量可表表示为,称称为向量量的坐标标,=叫做向向量的坐坐标表示示。如果果向量的的起点在在原点,那那么向量量的坐标标与向量量的终点点坐标相相同。
平面向量量的基本本定理::
如果e11和e2是同一一平面内内的两个个不共线线向量,那那么对该该平面内内的任一一向量aa,有且且只有一一对实数数、,使a=e1+e2。
实数与向向量的积积:实数数与向量量的积是是一个向向量,记记作.
平面向量量的数量量积:
(1)向向量的夹夹角:对对于非零零向量,作作,称为向向量的夹夹角,当当=0时时,同向向,当==时,反向向,当==时,垂直直。
(2)平平面向量量的数量量积:如如果两个个非零向向量,它它们的夹夹角为,我我们把数数量叫做做的数量量积(或或内积或或点积),记记作:,即即=。规定定:零向向量与任任一向量量的数量量积是00,注意意数量积积是一个个实数,不不再是一一个向量量。
(3)在在上的投投影的数量量为,它是是一个实实数,但但不一定定大于00。
(4)的的几何意意义:数数量积等等于的模模与在上的投投影的积积。
(5)向向量数量量积的性性质:设设两个非非零向量量,,其夹夹角为,则则:
①;
②当,同同向时,=,特别地,;当与反向时,=-;当为锐角时,>0,且不同向,>0是为锐角的必要非充分条件;当为钝角时,<0,且不反向,<0是为钝角的必要非充分条件;
③非零向向量夹角角的计算算公式::;④。
向量的运运算:
(1)几几何运算算:向量量加减法法:利用用“平行四四边形法法则”“三角角形法则则”进行,特特别要注注意:若若为中点,则则;
(2)坐坐标运算算:设,则则:
①向量的的加减法法运算::,。
②实数与与向量的的积:。
③若,则则,即一一个向量量的坐标标等于表表示这个个向量的的有向线线段的终终点坐标标减去起起点坐标标。
④平面向向量数量量积:。⑤向量的的模:。
⑥两点间间的距离离:若,则则。
向量的运运算律::
(1)交交换律::,,;
(2)结结合律::,;
(3)分分配律::,。
提醒:(11)向量量运算和和实数运运算有类类似的地地方也有有区别::对于一一个向量量等式,可可以移项项,两边边平方、、两边同同乘以一一个实数数,两边边同时取取模,两两边同乘乘以一个个向量,但但不能两两边同除除以一个个向量,即即两边不不能约去去一个向向量,切切记两向向量不能能相除((相约));(2)向向量的“乘法”不满足足结合律律,即,为为什么??
向量平行行(共线线)的充充要条件件:向量量与非零零向量平平行的充充要条件件是存在在实数使使得;
向量垂直直的充要要条件::。
向量中一一些常用用的结论论:
(1)一一个封闭闭图形首首尾连接接而成的的向量和和为零向向量,要要注意运运用;
(2),等等号当且且仅当同同向或反反向或有有时才有有可能成成立
(3)在在中,
①若,则则其重心心的坐标标为。
②为的重重心,特特别地为为的的重心;;
③为的垂垂