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难题解题示范.doc

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,a∈R.
(1)假设对任意,都有恒成立,求a的取值范围;
(2)设假设P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在轴上,求a的取值范围.(精品文档请下载)
解:(1)由,得.
由于,,且等号不能同时获得,所以.
从而恒成立,.…………………4分
,得.………6分
,,
从而,在上为增函数.
所以,所以.……………………8分
(2)设为曲线上的任意一点.
假设曲线上存在一点,使∠POQ为钝角,
那么.………………………………………………10分
假设t≤—1,,,=.
由于恒成立,.
当t=-1时,恒成立.
当t<-1时,,所以a≤0.…12分
假设,,,,
那么=,
对,恒成立.…………………………14分
③当t≥1时,同①可得a≤0.
综上所述,a的取值范围是.…………………………16分
,β是方程x2-x-1=0的两个根,且α<{an},{bn}满足a1=1,a2=β,
an+2=an+1+an,bn=an+1-αan(n∈N*).
(1)求b2-a2的值;
(2)证明:数列{bn}是等比数列;
(3)设c1=1,c2=-1,cn+2+cn+1=cn(n∈N*),证明:当n≥3时,an=(-1)n-1(αcn-2+βcn).(精品文档请下载)
解:因为α,β是方程x2-x-1=0的两个根,所以α+β=1,α·β=-1,β2=β+1.
(1)由b2=a3-αa2=a1+a2-αa2=1+a2-αβ=2+a2,得b2-a2=2.………4分(精品文档请下载)
(2)因为==(精品文档请下载)
====β,……………8分(精品文档请下载)
又b1=a2-αa1=β-α≠0,所以{bn}是首项为β-α,公比为β的等比数列.……10分
(3)由(2)可知an+1-αan=(β-α)βn-1.①
同理,an+1-βan=α(an-βan—1).又a2-βa1=0,于是an+1-βan=0.②(精品文档请下载)
由①②,得an=βn-1.……………………………13分
下面我们只要证明:n≥3时,(-1)n-1(αcn-2+βcn)=βn-1.
因为=-=-=-(精品文档请下载)
=-=-=β.(精品文档请下载)
又c1=1,c2=-1,c3=2,那么当n=3时,(—1)2(αc1+βc3)=(α+2β)=1+β=β2,(精品文档请下载)
所以{(—1)n-1(αcn-2+βcn)}是以β2为首项,β为公比的等比数列.
(-1)n-1(αcn—2+βcn)是它的第n-2项,
所以(-1)n-1(αcn—2+βcn)=β2·βn-3=βn-1=an.………………16分(精品文档请下载)