1 / 50
文档名称:

考研数学二试题详细解析.docx

格式:docx   大小:1,834KB   页数:50页
下载后只包含 1 个 DOCX 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

考研数学二试题详细解析.docx

上传人:春天的小花 9/24/2022 文件大小:1.79 MB

下载得到文件列表

考研数学二试题详细解析.docx

相关文档

文档介绍

文档介绍:该【考研数学二试题详细解析 】是由【春天的小花】上传分享,文档一共【50】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【考研数学二试题详细解析 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。2004年数学四试题解析、详解和评注
一、填空题(本题共6小题,每题4分,)
(1)若limsinx
(cosx
b)
5,则a=
1
,b=
4
.
x
0ex
a
【解析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】由于limsinx
(cosx
b)
5,且limsinx
(cosx
b)
0
,因此
x
0ex
a
x
0
lim(ex
a)
0,得a=1.
极限化为
x
0
limsinx(cosx
b)
lim
x(cosx
b)
1b
5
,得b=
4.
x
0ex
a
x
0
x
因此,a=1,b=
4.
【评注】一般地,已知
limf(x)=A,
g(x)
(1)
若g(x)
0,则f(x)
0;
(2)
若f(x)
0,且A
0,则g(x)
0.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,P43
第1(3)题,P44第2(10)题、
第6题,《数学题型集粹与练****题集》
,《数学四临考演****br/>P79第7题,
《考研数学大串讲》P12例17、19.
(2)设y
arctanex
ln
e2x
dy
e
1
.
e2x
1
,则
e2
1
dxx1
【解析】本题为基础题型,先求导函数即可.
【详解】由于y
arctanex
x
1ln(e2x
1),y
ex
1
e2x
,
2
1
e2x
e2x
1
dy
e
1
因此,
e2
.
dxx
1
1
【评注】本题属基本题型,主要观察复合函数求导.
近似例题在一般教科书上均可找到.
2
1
1
xex
,
x
2
1
(3)设f(x)
2
2,则
.
1f(x1)dx
2
1
,x
1
2
2
【解析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:
x
1=t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
2
1
1
【详解】令x
1=t,
1f(x
1)dx
1f(t)dt
1f(x)dt
2
2
2
1
2
1
1.
=
2
xexdx
1(1)dx0(1)
1
2
2
2
2
【评注】一般地,关于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解
.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《数学四临考演****br/>P61第2题,
P68第15题,《考研数学大串讲》
P41
例14.
0
1
0
(4)
设A
1
0
0
,B
P1AP,其中P为三阶可逆矩阵,

0
0
1
3
0
0
B2004
2A2
0
3
0
.
0
0
1
【解析】将B的幂次转变成A的幂次,
并注意到A2为对角矩阵即得答案.
【详解】由于
1
0
0
A2
0
1
0
,
B2004
P1A2004P.
0
0
1

B2004
P1(A2)1002P
P1EP
E,
3
0
0
B2004
2A2
0
3
0.
0
0
1
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的观察.
(5)设A
aij3
3是实正交矩阵,且
a11
1,b
(1,0,0)T,则线性方程组
Axb的解是
(1,0,0)T
.
【解析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】由于
x
A1b,而且A
aij3
3是实正交矩阵,于是AT
A1,
A的每一个行
(列)向量均为单位向量,因此
a11
1
xA1bATba12
0
.
a13
0
【评注】本题主要观察正交矩阵的性质和矩阵的运算.
近似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版,世界图书初版公司).
(6)设随机变量X遵从参数为λ的指数分布,
则P{X
DX}
1
.
e
【解析】依照指数分布的分布函数和方差马上得正确答案.
【详解】由于DX
1
X的分布函数为
2,
λ
1eλx,x
0,
F(x)
x
0.
0,

P{X
DX}1P{X
DX}1P{X
1
1
1
}1F( ).
λ
λ
e
【评注】本题是对重要分布
,即指数分布的观察,
属基本题型.
二、选择题(本题共
6小题,每题4
分,满分
,只有一
项吻合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)函数f(x)
|x|sin(x
2)
x(x
1)(x
2)2在以下哪个区间内有界.
(A)(1,0).
(B)(0,1).
(C)(1,2).
(D)(2,3).
[
A]
【解析】如f(x)在(a,b)内连续,且极限
lim
f(x)与lim
f(x)存在,则函数f(x)
xa
x
b
在(a,b)内有界.
【详解】当x
0,1,
2时,f(x)连续,而
lim
f
(x)
sin3,limf(x)
sin2,
x
1
18x0
4
limf(x)
sin2,limf(x)
,lim
f(x)
,
x0
4
x
1
x2
因此,函数f(x)在(
1
,0)内有界,应选(A).
【评注】一般地,如函数
f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界;
如函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且极限
lim
f(x)与limf(x)存在,则函数f(x)
xa
x
b
在开区间(a,b)内有界.
完好近似的例题见《数学题型集粹与练****题集》
,《数学四临考演****br/>P51
第15题.
(8)设f(x)在(
,+
)内有定义,且lim
f(x)
a,
x
1
g(x)
f(x),x
0,则
0,x
0
(A)x=0必是g(x)的第一类中止点.
(B)x=0必是g(x)的第二类中止点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=0
处的连续性与a的取值有关.
[
D]
【解析】观察极限limg(x)可否存在,如存在,可否等于g(0)即可,经过换元u1,
x0x
可将极限limg(x)转变成limf(x).
x0x
【详解】由于limg(x)
lim
f(1
x0
x0x
当a=0时,limg(x)
g(0)

)limf(u)=a(令u
1
),又g(0)=0,因此,
u
x
,即g(x)在点x=0处连续,当a
0时,
x0
limg(x)g(0),即x=0
是g(x)的第一类中止点,因此,g(x)在点x=0处的连续性
x0
与a的取值有关,应选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要观察分段函数在分界点处的连续性
.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《数学题型集粹与练****题集》
.
(9)设f(x)=|x(1
x)|,则
x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[C]
【解析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,
观察f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0<<1,当x(,0)(0,)时,f(x)>0,而f(0)=0,因此x=0
是f(x)
的极小值点.
显然,x=0是f(x)(,0)时,f(x)=x(1x),
f(x)20,
当x(0,)时,f(x)=x(1x),f(x)20,因此(0,0)是曲线y=f(x)的拐
点.
应选(C).
【评注】关于极值情况,也可观察f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
完好近似的例题见《数学复****指南》,《考研数学大串讲》P96例5.
1,x0
(10)设f(x)
x
0,x0,F(x)
0

f(t)dt,则
1,x
0
(A)F(x)在x=0
点不连续.
(B)F(x)在(
,+
)内连续,但在
x=0点不能导.
(C)F(x)在(
,+
)内可导,且满足
F(x)
f(x).
(D)F(x)在(
,+
)内可导,但不用然满足
F(x)f(x).
[B]
f(x)的变限积分F(x)
x
【解析】先求分段函数
f(t)dt,再谈论函数F(x)的连续性与
0
可导性即可.
x
(1)dt
x;
【详解】当x<0时,F(x)
0
当x>0时,F(x)
x
x,当x=0时,F(0)=(x)=|x|,
1dt
0
显然,F(x)在(
,+)内连续,但在
x=(B).
【评注】本题主要观察求分段函数的变限积分
.关于绝对值函数:|x
x|在x
x

0
0
不能导;f(x)=xn|x
x0|在x
x0处有n阶导数,则f(n)(x)(n
1)!|xx0|.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《考研数学大串讲》
P42例15.
(11)设f(x)在[a,b]上连续,且
f(a)0,
f(b)0,则以下结论中错误的选项是
最少存在一点x0(a,b)
最少存在一点x0(a,b)

,使得f(x0)>f(a).
,使得f(x0)>f(b).
(C)最少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0.
(D)最少存在一点x0(a,b),使得f(x0)=0.[D]
【解析】利用介值定理与极限的保号性可获取三个正确的选项,由消除法可选出错误选项.
【详解】第一,由已知f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则由介值定理,
最少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0;
别的,f(a)
lim
f(x)
f(a)
0
,由极限的保号性,最少存在一点
x0
(,)
x
a
ab
xa
使得f(x0)
f(a)
0,即f(x
)
f(a).同理,最少存在一点
x(a,b)
x0
a
0
0
使得f(x0)
f(b).因此,(A)(B)(C)都正确,应选(D).
【评注】本题综合观察了介值定理与极限的保号性,有必然的难度
.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《数学题型集粹与练****题集》
.
设n阶矩阵A与B等价,则必定
(A)当|A|a(a0)时,|B|a.(B)当|A|a(a0)时,|B|a.
(C)当|A|0时,|B|0.(D)当|A|0时,|B|0.[D]
【解析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(A)r(B)马上可得.
【详解】由于当|A|0时,r(A)n,又A与B等价,故r(B)n,即|B|0,进而选
(D).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的观察
,
属基本题型.
有关知识要点见《数学复****指南》
-286.
(13)设随机变量
X遵从正态分布
N(0,1)
,对给定的α(0,1),数uα满足P{Xuα}α,
若P{|X|
x}
α,则x等于
(A)
uα.
(B)u1α.
(C)
u
α.(D)u1α.
[B]
2
2
1
2
【解析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】由P{|X|x}α,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
P{Xx}
1
α
.
2
故正确答案为(B).
【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数看法的观察.
见《数学复****指南》.
(14)
设随机变量X1,X2,
,Xn(n1)
2

独立同分布,且方差
σ
Y
1n
Xi
,则
ni1
(A)
D(X1Y)
n2
2
(B)
D(X1Y)
n
22
σ.
n
σ.
n
(C)Cov(X1,Y)
σ2
(D)
Cov(X1,Y)
2
[C]
.
σ.
n
【解析】利用协方差的性质马上得正确答案..
【详解】由于随机变量X1,X2,
,Xn(n
1)独立同分布,
于是可得
Cov(X1,Y)
Cov(X1,1n
Xi
)
1Cov(X
1,
n
Xi)
ni1
n
i
1
1n
Cov(X1,Xi)
1Cov(X1,X1)
ni
1
n
1D(X1)
1σ2
.
n
n
故正确答案为(C).
【评注】本题是对协方差性质的观察,属于基本题.
有关知识点见《数学复****指南》,近似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.
三、解答题(本题共9小题,、证明过程或演算步骤.)
(本题满分8分)
求lim(
1
cos2x).
x0sin2x
x2
【解析】先通分化为“
0”型极限,再利用等价无量小与罗必达法规求解即可.
0
【详解】lim(
1
cos2x)
limx2
sin2xcos2x
x0
sin2x
x2
x
0
x2sin2x
x2
1
sin22x
2x
1
sin4x
=lim
4
4
lim
2
3
.
x
4x
x
0
x
0
1
cos4x
1
(4x)
2
4
lim
lim2
6x
2
6x
2
.
x
0
x
0
3
【评注】本题属于求不决式极限的基本题型,关于“
0”型极限,应充分利用等价无量小
0
代替来简化计算.
完好近似的例题见《数学复****指南》
.
(本题满分8分)
求(
x2
y2
y)d
,其中D是由圆x2
y2
4和(x
1)2
y2
1所围成的
D
平面地域(如图).
【解析】第一,将积分地域
D分为大圆D
{(x,y)|x2
y2
4}减去小圆
1
D2
{(x,y)|(x
1)2
y2
1},再利用对称性与极坐标计算即可.
【详解】令D1
{(x,
y)|x2
y2
4},
D2
{(x,y)|(x
1)2
y2
1},
由对称性,
yd
0.
D
x2
y2d
x2
y2d
x2
y2d
D
D1
D2
2
2
r2dr
3
2cos
r2dr.
d
2
d
0
0
0
2
16
32
16(3
2)
3
9
9
因此,
(
x2
y2
y)d
16(3
2).
D
9
【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,关于二重积分,经常利用对称性
及将一个复杂地域划分为两个或三个简单地域来简化计算
.
完好近似的例题见《数学题型集粹与练****题集》
(1),《数学四临考演****P16
第17题,《考研数学大串讲》
P79例2.
(17)(本题满分
8分)
设f(u,v)拥有连续偏导数,且满足
fu(u,v)
fv(u,v)
uv.
求(
)
e
2x
f
(,
x
)所满足的一阶微分方程,并求其通解.
yx
x
【解析】先求y
,利用已知关系
f
u
uv
)
f
uv
uv,可获取关于y的一阶微分方程.
(,
v(,
)
【详解】y
2e2xf(x,x)
e2xfu(x,x)
e2xfv(x,x)
2yx2e2x,
因此,所求的一阶微分方程为
y
2y
x2e2x.
解得
y
e
2dx
(
2
e
2x
e
2dx
C)
1
x
3
C)e
2x
(C为任意常数).
x
dx
(
3
【评注】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程,但是,求偏导数与解微分方程都是
基本题型.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《数学题型集粹与练****题集》

,《数学四临考演****br/>P3第16题,《考研数学大串讲》
P76例14.
(18)(本题满分
9分)
设某商品的需求函数为
Q=100
5P,其中价格P
(0,20),Q为需求量.
(I)
求需求量对价格的弹性
Ed(Ed>0);
(II)
dR
推导
Q(1Ed)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,
dP
降低价格反而使收益增加.
【解析】由于Ed>0,因此Ed
PdQ
;由Q=PQ及Ed
PdQ
QdP
可推导
QdP
dR
Q(1Ed).
dP
PdQ
P
.
【详解】(I)Ed
20
P
QdP
(II)
由R=PQ,得
dR
QPdQ
Q(1
PdQ)Q(1E).
dP
dP
QdP
d
P
又由Ed1,得P=10.
20P
当10<P<20时,E>1,于是
dR
,
0
d
dP
故当10<P<20时,降低价格反而使收益增加.
【评注】当E
>0时,需求量对价格的弹性公式为
E
PdQ
PdQ
.
d
d
QdP
QdP
利用需求弹性解析收益的变化情况有以下四个常用的公式:
dR(1
E)Qdp,dR(1
E
)Q,dR
(1
1)p,
d
dp
d
dQ
Ed
ER
1Ed(收益对价格的弹性).
Ep
这些公式在文登学校指导资料系列之五《数学应用专题
(经济类)》有详细的总结.
完好近似的例题见《数学复****指南》
,《数学应用专题
(经济类)》P2.
(19)(本题满分
9分)
设F(x)
e2x,x
0,S表示夹在x轴与曲线y=F(x)>0,
e
2x,x
0
S1(t)表示矩形
t
x
t,0
y
F(t)
(I)S(t)=SS1(t)的表达式;
(II)S(t)的最小值.
【解析】曲线y=F(x)关于y轴对称,x轴与曲线y=F(x)围成一无界地域,因此,面积S可用广义积分表示.
【详解】(I)S2e2xdxe2x
1,
0
0
S(t)
2te2t,
1
因此S(t)1
2te2t,t
(0,+
).
(II)由于S(t)
2(12t)e2t,
1
,
故S(t)的独一驻点为t
2
又S(t)8(1
t)e2t,S(1)
4
0,
因此,S(1)
1
2
e
1
为极小值,它也是最小值.
2
e
【评注】本题综合了面积问题与极值问题,但这两问题自己其实不难,属于基本题型
.
完好近似的例题见《数学复****指南》P143
,《数学题型集粹与练****题集》
.
(本题满分13分)设线性方程组
x1
λx2
μx3
x4
0,
2x1
x2
x3
2x4
0,
3x1
(2λ)x2
(4μ)x3
4x4
1,
已知(1,1,1,1)T是该方程组的一个解,试求
(Ⅰ)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(Ⅱ)该方程组满足x2
x3的全部解.
【解析】
含未知参数的线性方程组的求解
,
当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化
增广矩阵为阶梯形
,尔后对参数进行谈论.
由于本题已知了方程组的一个解
,于是可先由它
来(部分)确定未知参数.
【详解】
将(1,
1,1,
1)T代入方程组,得

A施以初等行变换,

1
λλ
10
10
2λ1λλ
A
2
1
1
2
0
0
1
3
1
1
,
32λ2
λ41
002(2λ1)2λ12λ1
(Ⅰ)当λ1
时,有
2
1
0
0
1
0
A
0
1
0
1
1
,
2
2
0
0
1
1
1
2
2
r(A)r(A)
34
,故方程组有无量多解,且
0
(0,1,1,0)T为其一个特解,
ξ
2
2
对应的齐次线性方程组的基础解系为
η(
2,1,
1,2)T,故方程组的全部解为
ξξ0
kη(0,
1,1,0)T
k(
2,1,
1,2)T
(k为任意常数).
2
2
当λ1
时,有
2
1
0
1
1
1
2
2
A
0
1
3
1
1
,
0
0
0
0
0
r(A)r(A)24,故方程组有无量多解,且
ξ
(
1,1,0,0)T
0
为其一个特解,
2
对应的齐次线性方程组的基础解系为
η1(1,
3,1,0)T
,η2(1,2,0,2)T,