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第一讲函数、连续与极限
对复****内容要分清主次,突出重点,系统复****与重点复****相结合。
“极限〞是高等数学中一个极为重要的根本概念,无论是导数,还是定积分、广义积分、曲线的渐近线,乃至无穷级数等概念无不建立在极限的根底上,根限是研究微积分的重要工具。但极限的概念与理论只是高等数学的根底知识,并不是复****的重点,复****的重点是高等数学的核心内容——微分学与积分学,特别是一元函数的微积分,对微分与积分的根本概念、根本理论、根本运算和根本应用要多下功夫。
考生应深刻理解高等数学中的根本概念,特别是导数与微分的定义、原函数与不定积分的定义、定积分的定义等概念。要熟练掌握根本方法和根本技能,特别是函数极限的计算,函数的导数与微分的计算,不定积分与定积分的计算,这是高等数学中一切运算与应用的根底。复****中应当狠抓根本功,从熟记根本公式做起,如根本初等函数导数公式,不定积分根本公式。要熟练掌握导数的四那么运算法那么及复合函数求导法那么。要熟练掌握计算不定积分与定积分的根本方法,特别是凑微分法及分部积分法。考题中会有相当数量的关于导数与微分,不定积分与定积分的根本计算题,试题并不难,考生只要到达上述要求,都能正确解答这些试题。同时,要高度重视导数与定积分的应用,如利用导数讨论函数的性质和曲线形状,利用导数的几何意义求曲线的切线方程与法线方程,利用函数的单调性证明不等式,利用定积分的换元积分法证明等式,利用定积分的几何应用求平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积,以及二元函数的无条件极值与条件极值等。
,追求学****效益。
要加强练****注重解题思路和解题技巧的训练,对根本概念、根本理论、根本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析。如由导数与微分的概念推广到偏导数与全微分的概念,由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念,比拟它们之间的异同,分析它们之间的内在联系与本质区别。只要把这些关系理清,那么可从掌握导线与微分的运算上升到掌握偏导数与全微分的运算,从掌握不定积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。学****无穷级数时要注意以极限为工具,判断无穷级数的收敛性是以limn→∞Sn是否存在为依据的,数项级数收敛的必要条件是limn→∞un=,正项级数收敛性的判定,极限形式的比拟判别法、达朗贝尔比值法,以及求幂级数的收敛半径、收敛区间,都涉及到极限的计算。常微分方程可看作是积分的应用,求解可别离变量的微分方程时,在别离变量后需两边同时积分,用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也需求不定积分。
,熟悉考题中的各种题型,掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与解题技巧。
对根本公式、根本方法、根本技能要进行适度、适量的练****在做题的过程中熟悉运算公式和运算法那么,在练****的过程中加强理解与记忆。理解和记忆是相辅相承的,在理解中加深记忆,记忆有助于更深入地理解,理解愈深,记忆愈牢。练****中应注意分析与类比,掌握思考问题和解决问题的正确方法。学会总结与归纳,寻求一般性的解题规律及解题方法,提高解题能力。
一、理论要求

函数的根本性质〔单调、有界、奇偶、周期〕
几类常见函数〔复合、分段、反、隐、初等函数〕

极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法那么求极限

函数连续〔左、右连续〕与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质〔最值、有界、介值〕
二、题型与解法

〔1〕用定义求
〔2〕代入法〔对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子〕
〔3〕变量替换法
〔4〕两个重要极限法
〔5〕用夹逼定理和单调有界定理求
〔6〕等价无穷小量替换法
〔7〕洛必达法那么与Taylor级数法
〔8〕其他〔微积分性质,数列与级数的性质〕
1.〔等价小量与洛必达〕
2.
解:
〔洛必达〕
3.〔重要极限〕
、b为正常数,
解:令
〔变量替换〕
5.
解:令
〔变量替换〕
,,求
〔洛必达与微积分性质〕
=0连续,求a
解:令〔连续性的概念〕
三、补充****题〔作业〕
1.〔洛必达〕
2.〔洛必达或Taylor〕
3.〔洛必达与微积分性质〕
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求

导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导〔根本公式、四那么、复合、高阶、隐、反、参数方程求导〕
会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图
会计算曲率〔半径〕
二、题型与解法

根本公式、四那么、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
,求
,求
解:两边微分得x=0时,将x=0代入等式得y=1
,那么


解:
(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在〔6,f(6)〕处的切线方程。
解:需求,等式取x->0的极限有:f(1)=0

6.,
,求点的性质。
解:令,故为极小值点。
7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解:定义域
、渐进线。
解:,

9.
或:

解:
=

,
证:1〕令
2〕令

,且,
,求证:在〔-1,1〕上存在一点
证:
其中
将x=1,x=-1代入有
两式相减:
13.,求证:
证:


〔关键:构造函数〕
三、补充****题〔作业〕
1.

3.
>0时
证:令
第三讲不定积分与定积分
一、理论要求

掌握不定积分的概念、性质〔线性、与微分的关系〕
会求不定积分〔根本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部〕

理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法
会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题〔长、面、体〕
会用定积分求物理问题〔功、引力、压力〕及函数平均值
二、题型与解法

1.
2.
,求
解:
4.

,,且,求并讨论在的连续性。
解:
6.

[0,1]连续,在〔0,1〕上,且,又与x=1,y=0所围面积S=2。求,且a=?时S绕x轴旋转体积最小。
解:
,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕
x轴旋转的外表积。
解:切线绕x轴旋转的外表积为
曲线绕x轴旋转的外表积为
总外表积为
三、补充****题〔作业〕
1.
2.
3.
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求

理解向量的概念〔单位向量、方向余弦、模〕
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法

理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值

掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
、全微分
,满足,求
解:
2.
3.,求


解:


,求的极值点与极值。
三、补充****题〔作业〕
1.
2.
3.
第五讲多元函数的积分
一、理论要求

熟悉二、三重积分的计算方法〔直角、极、柱、球〕
会用重积分解决简单几何物理问题〔体积、曲面面积、重心、转动惯量〕

理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法