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一、单项选择题(每小题2分,共10分)
【】1、设f(x)为3次实系数多项式,则
(x)(x)至少有一个实根
(x)(x)有三个实根.
【】2、设A,B为任意两个n级方阵,则如下等式成立的是
A.(AB)2A22ABBAB
BAB
【】3、设向量组,线性无关,则向量组ab,cd线性无关的充
121212
分必要条件为
cd
【】(2)级方阵A经过若干次初等变换之后变为B,则一定有
0与Bx0同解
(A)秩(B)*B*
【】5、设矩阵A和B分别是23和33的矩阵,秩(A)2,秩(B)3,则秩
(AB)是

二、填空题(每小题2分,共20分)
(x)没有重因式的充要条件是.
(x)g(x)1,则(f(x),g(x)).

123

023,则(A*)1.
1
00
2
a00
1
:AAA为______________.
2313233
00a
3

12
2,B,其中,均为3维行向量。若A16,B2,
11ii
2
22
则AB.
,则r(A)=.
xxa
121
xxa
232,有解的充要条件是.
xxa
343
xxa
414
,,可由,,线性表示,且,,线性无关,则
12r12s12r
rs.
1
,且A,则A1A*=
2
0012
0037
,则A1=.
3500

4700
三、判断题(每小题2分,共10分)
【】1、若不可约多项式p(x)是f(x)的2重因式,则p(x)是f(x)的3重因式.
【】2、设n级方阵A为可逆矩阵,则对任意的n维向量,线性方程组Ax都有解。
【】3、若有方阵A,B,C满足ABAC,则BC
【】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。
【】5、设A为n阶方阵,B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵,则|A|0
当且仅当|B|0.
四、计算题(每小题10分,共40分)
xxxx1
1234
为何值时方程组2x2x3x2x2有解,并求出一般解
1234
3x3x2xx
1234
(x)x36x215x14,求f(x)的有理根,进而写出f(x)在实数域上的标准分解
式.
323
A100
3、设3级方阵A和B满足ABAB,其中,求矩阵B。

122
c00b
1
0c0b
2
4、D,c0
n1
00cb
n
aaa0
12n
(第1小题12分,第2小题8分,共20分)
,a,aa是n+2个互不相同的数,且a0
01n0
aaaa
012n
axaa
02n
f(x)aaxa
01n
aaax
012
证明(f(x),xb)1
n矩阵,证明:存在非零矩阵B使AB=0的充分必要条件为|A|=0.
高等代数试卷二答案
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
1、B2、C3、A4、C5、B
二填空题(每小题2分,共20分)

123

1、(f(x),f(x))12、13、0234、aa5、26、r
12
1
00
2
0075

10043
7、aaaa08、9、10、
123447200

3100
三、判断题(每小题2分,共10分)
1、×2、√3、×4、√5、√
四、计算题(每小题10分,共30分)
11111

1解:(1)A00540,

00003
3时有解;(5分)
其全部解为:(1,0,0,0)+k(-1,1,0,0)+t(-1,0,-4,5),其中k,t为任意数.(10分)
个向量,可取为(1,1,,1).(10分)
2、(x)可能的有理根为1,2,7,14,由综合除法知2为f(x)的单根,(5分)
且f(x)在实数域上的分解式为:
f(x)(x2)(x24x7)(10分)
:由ABAB可得(AE)BA。经计算AE10,因此,矩阵AE
可逆。所以,B(AE)1A。(5分)
223323110100
110100011022


121122001165
100243
010143


001165
243
B143
所以,。(10分)

165
a
i(i1,2,,n)倍加到第n+1行上,得
c
n
Dcn1ab(10分)
n1ii
i1
五、证明题(第1小题12分,第2小题8分,共20分)
:把第1行的1倍加到其它各行上,得
f(x)a(xa)(xa)(8分)
01n
f(b)0,xb|f(x),(f(x),xb)1(12分)
0有非零解当且仅当A0(4分)
又B的列向量均为AX0的解向量,故存在非零矩阵B使AB=0的充分必要条
件为|A|=0.(8分)

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