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信号与系统课件郑君里版第二章课件.ppt

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信号与系统课件郑君里版第二章课件.ppt

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微分方程的经典解法
0+和0-初始值
零输入响应与零状态响应
冲激响应和阶跃响应
卷积积分

一、微分方程的经典解
微分方程的经典解:
y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;
特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。
全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应)
齐次解:写出特征方程,求出特征根(自然频率或固有频率)。根据特征根的特点,齐次解有不同的形式。一般形式(无重根):
特解:根据输入信号的形式有对应特解的形式,用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时,特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数。一般情况下,n阶方程有n个常数,可用个n初始值确定。
为特征根
由表2-2可知,当f(t)=2时,其特解可设为
将其代入微分方程得
解得P=1
于是特解为
全解为:
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0)=C1+C2+1=2,
y’(0)=–2C1–3C2–1=–1
解得C1=3,C2=–2
最后得全解
将初始条件代入,得:
y(0)=(C1+P0)+C2=1,
y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0
解得C1+P0=2
C2=–1
最后得微分方程的全解为
上式第一项的系数C1+P0=2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。
二、关于0-和0+初始值
1、0-状态和0+状态
0-状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的;
0+状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能,还受激励的影响。
从0-状态到0+状态的跃变
当系统已经用微分方程表示时,系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。
如果包含有(t)及其各阶导数,说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
0+状态的确定
已知0-状态求0+状态的值,可用冲激函数匹配法。
求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
各种响应用初始值确定积分常数
在经典法求全响应的积分常数时,用的是0+状态初始值。
在求系统零输入响应时,用的是0-状态初始值。
在求系统零状态响应时,用的是0+状态初始值,这时的零状态是指0-状态为零。
2、冲激函数匹配法
目的:用来求解初始值,求(0+)和(0-)时刻值
的关系。
应用条件:如果微分方程右边包含δ(t)及其各阶导
数,那么(0+)时刻的值不一定等于(0-)
时刻的值。
原理:利用t=0时刻方程两边的δ(t)及各阶导数
应该平衡的原理来求解(0+)