文档介绍：函数的奇偶性
兴趣导入(Topic-in):
小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全A。妈妈问:“是修女教得好?是教材好?是祷告?...”“都不是,”小明说,“进学校的第一天,我看见一个人被钉死在加号上面,我就知道...他们是玩真的。”
二、学前测试(Testing):
1、判断下列函数的奇偶性
。(2)。
解:(1)、函数的定义域为R, 所以为奇函数
(2)、函数的定义域为,定义域关于原点不对称,所以为非奇非偶函数
知识讲解(Teaching):
1函数奇偶性的几个性质:
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;
(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;
(3)是偶函数,是奇函数;
(4), ;
(5)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;
(6)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
(7)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶
偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
2函数奇偶性证明的步骤:
(1)考察函数的定义域是否关于“0”对称;
(2)计算的解析式,并考察其与的解析式的关系;
(3)下结论.
强化练****Training)
例1、已知,求f(2)。
评析:判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称,然后用定义来判断。
2.
评析:挖掘f(x)隐含条件,构造奇函数g(x),从整体着手,利用奇函数的性质解决问题.
.
例2:已知函数是定义域为的奇函数,求的值.
【解】
∵是定义域为的奇函数,∴对任意实数都成立,
把代入得, ∴.
例3. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时f(x)= ,求f(x)的解析式
,都有,
(1)求证:是奇函数;(2)若,用表示.
解:(1)显然的定义域是,,
令,得,令,得,∴,
∴,即, ∴是奇函数.
(2)由,及是奇函数,
得.
[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
答案:
(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(xR,yR),且f(0)≠0,
试证f(x)是偶函数.
证明:令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),又f(0)≠0,∴可证f(0)==0,
∴f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数.
(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2—1,求f(x)在R上的表达式.
解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.
f(x)=x3+2x2-(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,
∴f(x)=x3-2x2+1.
因此,
点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.
(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定