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分数乘法
一、分数乘法
(一)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
(二)、规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(三)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
(四)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c
二、分数乘法的解决问题
(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后
面
2、求一个数的几倍:一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数×
几
。
几
3、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”:.
(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1
的分数,再交换分子分母的位置。(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
1
3、1的倒数是1;0没有倒数。因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为
0
0)
11ba
4、对于任意数a(a0),它的倒数为;非零整数a的倒数为;分数的倒数是;
aaab
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数
的运算。
2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、“”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,
再算中括号里面的。:.
二、分数除法解决问题
(未知单位“1”的量(用除法):已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”
的量。)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:
①求多几分之几:大数÷小数–1②求少几分之几:1-小数÷大数
或①求多几分之几(大数-小数)÷小数②求少几分之几:(大数-小数)÷大数
三、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项
除以后项所得的商,叫做比值。
3
例如15:10=15÷10=(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
2
∶∶∶∶
前项比号后项比值:.
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新
量。例:路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系:
比前项比号“:”后项比值
除法被除数除号“÷”除数商
分数分子分数线“—分母分数值
”
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
:
依据比的基本性质:①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
(1)②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整
数比的方法来化简。
③两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。:.
3
如:15∶10=15÷10==3∶2
2
:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
如:已知两个量之比为a:b,则设这两个量分别为ax和bx。
6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为
5:4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。
(如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)
圆
一、认识圆
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。
1
,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。
2
d
用字母表示为:d=2r或r=
2
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。:.
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形;
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,。
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:等于圆的周长÷2计算方法:2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。:.
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化
复杂为简单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:长方形面积=长×宽
所以:圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r
圆的面积公式:S=πr2
圆
4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)
S环=πR²-πr² 或
环形的面积公式:S环=π(R²-r²)。
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如:
在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。
反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
9、确定起跑线::.
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2×π×跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加
a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π====
2π====
3π====
4π===
12、常用平方数结果
22222
11=12112=14413=16914=19615=225
2222
16=25617=28918=32419=361
百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
2、千分数:表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单
位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;:.
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:
先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
115
==50%==20%==%
258
121
==25%==40%==%
458
333
==75%==60%==%
458
147
==%==80%==%
1658
1234
==4﹪==8﹪==12﹪==16﹪
25252525
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法::.
合格产品数发芽种子数
①合格率=100%②发芽率=100%
产品总数种子总数
出勤人数达标学生人数
③出勤率=100%④达标率=100%
总人数学生总人数
成活的数量粉的重量
⑤成活率=100%⑥出粉率=100%
总数量出粉物的重量
烘干后的重量烘干前的重量烘干后的重量
⑦烘干率=100%⑧含水率=100%
烘干前的重量烘干前的重量
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到
100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80%,出油率在
30、40%。)
2、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题:
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
3、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。
解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:
两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或:
①求多百分之几:(大数-小数)÷小数
②求少百分之几:(大数-小数)÷大数
(二)、折扣
1、折扣:商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。
8
几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五==65﹪
10:.
2、 一成是十分之一,也就是10%。三成五就是十分之三点五,也就是35%
(三)、纳税
1、纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴
纳给国家。
2、纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、
教育、文化和国防安全等事业。
3、应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法:应纳税额=总收入×税率
(四)利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支
援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。
3、本金:存入银行的钱叫做本金。
4、利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率:利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式:利息=本金×利率×时间
7、注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
扇形统计图
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角:.
越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆
周角度数的百分比。)
圆柱与圆锥
一、圆柱的特征:
1、圆柱的两个圆面叫做底面,周围的面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面,。
2、圆柱的高:圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条。
3、圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的
周长,长方形的宽等于圆柱的高,当底面周长和高相等时,侧面沿高展开后是一个正方形。
4、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2πr×h
5、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+
2×πr2
6、圆柱的体积=圆柱的底面积×高,即V=sh或πr2×h
7、将一张长方形围成圆柱有两种方法,将一张长方形进行旋转一般也有两种。
(进一法:实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些,因此,要保留数的时候,省略
的位上的是4或者比4小,都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。)
二、圆锥的特征:
1、圆锥只有一个底面,底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。
2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。(测量圆锥的高:
先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。)
3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的
112
三分之一,即V锥=Sh或V锥=πr×h
33
5、常见的圆柱圆锥解决问题:①、压路机压过路面面积(求侧面积);②、压路机压过
路面长度(求底面周长);③、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);④、厨师帽(求侧面积
和一个底面积);通风管(求侧面积)。
6、圆柱和圆锥的特征
圆柱圆锥
两个底面完全相同,都是圆形。
底面一个底面,是圆形。
曲面,沿高剪开,展开后是长方形。曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开,展开后是扇形。
侧面:.
两个底面之间的距离,有无数条。顶点到底面圆心的距离,只有一条。
高
常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
重量单位换算1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时
1时=60分1分=60秒1时=3600秒