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考试内容:
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数列的极限.
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考试要求:
理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
了解数列极限和函数极限的概念.
掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
§
1-⑴第一数学归纳法:①证明当n取第一个n0时结论正确;②假设当n=k(keN+,k>n0)时,结论正确,证明当n=k+1时,结论成立.
⑵第二数学归纳法:设P(n)是一个与正整数n有关的命题,如果
当n=n(neN+)时,P(n)成立;
00
假设当n<k(keN+,k>n0)时,P(n)成立,推得n=k+1时,P(n)也成立.
那么,根据①②对一切自然数n>n0时,P(n)都成立.
⑴数列极限的表示方法:
lima=a
n
ns
当nTa时,ata.
n
⑵几个常用极限:
limC=C(C为常数)
nTa
lim—=0(keN,k是常数)
nTank
对于任意实常数,
当丨aIy1时,liman=0
ns
当|a|=1时,若a=〔,则liman=1;若a=-1,则liman=lim(-l)n不存在
ns ns ns
当|a|》1时,liman不存在
ns
⑶数列极限的四则运算法则:
如果lima=a,limb=b,那么
nb
ns ns
lim(a±b)=a+b
nn
ns
lim(ab)=a•b
nn
ns
lim第=a(b丰0)
n*bb
n
特别地,如果C是常数,那么
lim(C•a)=limC•lima=Ca.
nn
ns nsns
⑷数列极限的应用:
求无穷数列的各项和,特别地,当qY1时,无穷等比数列的各项和为S=孔(|q|Y1).
1-q
(化循环小数为分数方法同上式)注:并不是每一个无穷数列都有极限.
函数极限;
⑴当自变量X无限趋近于常数X0(但不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋进于一个常数a,就是说当x趋近于x0时,函数f(x)(x)=a或当xTx0时,f(x)Ta.
XTxo
注:当xTx0时,f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关,因为xTx0并不要求x=x0.(当然,f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关=函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.)
xTx0
如P(x)=\x—1"1在x=1处无定义,但limP(x)存在,因为在x=1处左右极限均等于零.-x+1xY1 xt1
⑵函数极限的四则运算法则:
如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么
xTx0 xTx0
lim(f(x)±g(x))=a±b
xTx0
lim(f(x)•g(x))=a•b
xTx0
lim =—(b丰0)
xtx0g(x)b
特别地,如果C是常数,那么
lim(C-f(x))=Climf(x).
xtx0 xtx0
lim[f(x)]n=[limf(x)]n(neN+)
xtx0 xtx0
注:①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况⑶几个常用极限:
lim1=0
mgx
limax=0(0Va<1);limax=0(a>1)
xT+g xT-g
lim沁=1nlim亠=1
xT0x xT0sinx
11
lim(1+—)x=e,lim(1+x)x=e(e=)
xTg x xT0
函数的连续性:
⑴如果函数f(x),g(x)在某一点x=xo连续,那么函数f(x)土g(x),f(x)-g(x)/f(x)(g(x)丰0)
0 g(x)
在点x=x0处都连续.
⑵函数f(x)在点x=x0处连续必须满足三个条件:
①函数f(X)在点x=x0处有定义;②limf(x)存在;③函数f(x)在点x=x0处的极限值xTx0
等于该点的函数值,即limf(x)=f(x0).
xTx0
⑶函数f(x)在点x=x0处不连续(间断)的判定:
如果函数f(x)在点x=x0处有下列三种情况之一时,则称x0为函数f(x)的不连续点.
①f(x)在点x=x0处没有定义,即f(x0)不存在;②limf(x)不存在;③limf(x)存在,
xTx0 xTx0
但limf(x)丰f(x0)-
xTx0
零点定理,介值定理,夹逼定理:
⑴零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)-f(b)0•那么在开区间(a,b)内至
少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点£(a<£<b)使f忆)=0•
⑵介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同函数值,
f(a)=A,f(b)=B,那么对于A,B之间任意的一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点£,使得f忆)=C(aV£Vb).
⑶夹逼定理:设当0Ylx-x°Iy8时,有g(x)<f(x)<h(x),且limg(x)=limh(x)=A,则
XTx。 xTx。
必有limf(x)=A.
xTx0
注:lx-x0l:表示以x0为的极限,则lx-x0l就无限趋近于零.(£为最小整数)
几个常用极限:
limqn=0,q|y1
nT+w
lim—=0(aA0)
nT+8n!
lim—=0(aa1,k为常数)
nT+wan
lim哑=0
nT+wn
lim(lnn)k=0(sA0,k为常数)
nT+wn*