三角函数及解三角形知识点总结 (2).pdf

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yx
于原点),它与原点的距离是rx2y20,那么sin,cos,
rr
yya的的的
tan,x0
xP(x,y)
r
三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点的位置无关。
Pox
:(一全二正弦,三切四余弦)
+ +- + - +
- - - + + -
sincostan
:
1
(1)平方关系:sin2cos21,1tan2
cos2
sin
(2)商数关系:tan(用于切化弦)
cos
※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换

k
诱导公式(把角写成形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限)
2
sin(2kx)sinxsin(x)sinxsin(x)sinx

Ⅰ)cos(2kx)cosxⅡ)cos(x)cosxⅢ)cos(x)cosx

tan(2kx)tanxtan(x)tanxtan(x)tanx

sin(x)sinxsin()cossin()cos
22
Ⅳ)cos(x)cosxⅤ)Ⅵ)

tan(x)tanxcos()sincos()sin
22

度030456090120135150180270360
2353
弧度02
64323462
123321
sin01010
222222
321123
cos10101
222222
33
tan013无310无0
33

函ysinxycosxytanx
性数
质
图
像
定

义RRxxk,kZ
2
域
值
1,11,1R
域

当x2kkZ时,
2当x2kkZ时,
ymax1;
最
ymax1;当x2k既无最大值也无最小值
值
当x2kkZ时,
2
kZ时,ymin1.
ymin1.
周
期22
性
奇奇函数偶函数奇函数
偶
性

在2k,2k
22在
2k,2kkZ上

单kZ上是增函数;在k,k
是增函数;22
调
性3
在2k,2k在2k,2kkZkZ上是增函数.
22
上是减函数.
kZ上是减函数.
对称中心
对对称中心k,0kZk
k,0kZ对称中心,0kZ
称22

性对称轴xkkZ
2无对称轴
对称轴xkkZ
Asin(x)图象的画法:
3
①“五点法”――设Xx,令X=0,,,,2求出相应的x值,计算得出五
22
点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
:函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系:
要特别注意,若由ysinx得到ysinx的图象,则向左或向右平移应平移

||个单位


例:以ysinx变换到y4sin(3x)为例
3

ysinx向左平移个单位(左加右减)ysinx
33
1
横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)ysin3x
33

纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)y4sin3x
3
1
ysinx横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)ysin3x
3

向左平移个单位(左加右减)ysin3xsin3x
993

纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)y4sin3x
3
注意:在变换中改变的始终是x。
9、三角恒等变换
、余弦、正切公式:
(1)sin()sincossincos
(2)sin()sincossincos
(3)cos()coscossinsin
(4)cos()coscossinsin
tantan
(5)tan()tantantan1tantan
1tantan
tantan
(6)tan()tantantan1tantan
1tantan
(7)asinbcos=a2b2sin()(其中,辅助角所在象限由点(a,b)所在的象
bab
限决定,sin,cos,tan,该法也叫合一变形).
a2b2a2b2a
1tan1tan
(8)tan()tan()
1tan41tan4
10、二倍角公式
(1)sin2a2sinacosa
2222
(2)cos2acosasina12sina2cosa1
2tana
(3)tan2a
1tan2a
:
1cos2a1cos2a
(1)cos2a(2)sin2a
22


(1)1cos2cos2(2)1cos2sin2
22

(3)1sin(sincos)2(4)1sin2cos2
22

(5)sin2sincos
22
:
函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:
22ab
asinbcosabsin()其中cos,sin
2222
abab,
13
ysinx3cosx12(3)2(sinxcosx)
2222
比如:1(3)1(3)
13
2(sinxcosx)2(sinxcoscosxsin)2sin(x)
22333
1
注意:“凑角”运用:,,
2
14、三角形中常用的关系:
ABC
sinAsin(BC),cosAcos(BC),sincos,
22
sin2Asin2(BC),cos2Acos2(BC)
常见数据:sin15cos7562,sin75cos1562,
44
tan1523,tan7523,
15、正弦定理:在AC中,a、b、c分别为角A、、C的对边,R为
abc
AC的外接圆的半径,则有2R(R是三角形外接圆半
sinAsinsinC
径).
注:正弦定理的变形公式:
①a2RsinA,b2Rsin,c2RsinC;
abc
②sinA,sin,sinC;
2R2R2R
③a:b:csinA:sin:sinC
16、余弦定理:在AC中,有
a2b2c22bccosA,b2a2c22accos,c2a2b22abcosC
b2c2a2a2c2b2
注:余弦定理的推论:cosA,cos,
2bc2ac
a2b2c2
cosC.
2ab
111
17、三角形面积公式:SbcsinAabsinCacsin
AC222
1
SABC两两两两两两两两两两两两
2
1
S两两
ABC2
注:(1)①如果一个三角形两边的平方和等于第三边,那么第三边所对的角为
直角;
②如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角;
③如果大于第三边的平方,那么第三边所对角为锐角。(课本第6页右下角)
例如a、b、c是AC的角A、、C的对边,则:①若①a2b2c2,则
C90;
②若a2b2c2,C180,C为钝角
③若a2b2c2,则0C90;C为锐角
(2)在三角形中一些重要的知识点;
BC,A,B,C(0两)
,任意两边之差小于第三边。
,小角对小边,等角对等边。
,如果某一边不是最大的边,那么这条边所对的角一定是锐角。
,如果某一边是最大的边,那么它所对的角可能是锐角,直角,
钝角。