中北大学线性代数知识点.pdf

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第一章行列式
一、重要公式
11
AAAn1
.
kAknA
A*
ABABAB

AO
AB
6.*B
OBnmn
(1)AmBn
.
n
OO*
aii
O*Oi1
1111
x1x2x3xn
2222
x1x2x3xn(xjxi)
:1ijn

n1n1n1n1
x1x2x3xn
二、主要知识网络图
排列—逆序—奇、偶排列
概念
a11a12a1n
aaa
D21222n

an1an2ann
性质行列互换,行列式值不变,即行列式与其转置行列式相等。
互换两行(列),行列式值变号。
某行(列)有公因数,可提到行列式之外。
某行(列)的k倍加到另一行(列)上去,行列式值不变。
若行列式某行(列)的所有元素均为两项之和,则行列式可拆成两行列式之和。
若行列式有两行(列)对应成比例,则值为零。
行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。
计算三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法
应用Grame法则
奇次线性方程组有非零解的充分条件
第二章矩阵
一、重要定理
,B是n的阶矩阵,则ABAB。
,则A的逆矩阵唯一。
定理阶矩阵可逆
A0r(A)nAP1P2Ps,
是初等矩阵(,,)
Pii1s
(右)乘给定的矩阵,其结果就是对给定的矩阵作相应的行(列)变换。
1111
EijEij,E(i(k))E(i()),Eij(k)Eij(k)
,且其逆同类型初等矩阵,即k。
,则(1)秩r(A)=r(B)(2)存在可逆矩阵P与Q,使PAQ=B。
(A)=r,则A中有r个线性无关的行(列)向量而其它的行(列)向量都可由这r个向量线性表
出。即r(A)=行秩=列秩。
二、重要公式、法则

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+0=0+A=A(4)A+(-A)=A
(5)k(lA)=(kl)A(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB(8)1A=A,0A=0

(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(kA)(lB)=kl(AB)(4)A0=0A=0

(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT

111
(1)A1A(2)(AT)1(A1)T(3)kAA1(4)(AB)1B1A1
k

(1)AA*A*AAE(2)(kA)*kn1A*(3)(AT)*(A*)T
An1
(4)(A*)1(A1)(5)AA
A

1n1
(1)ATA(2)kAknA(3)ABAB(4)A1A(5)AA

(1)r(A)r(AT)r(PA)r(AQ)r(PAQ)(P、Q可逆)
r(A)如果k0
(2)r(AB)r(A)r(B)(3)r(kA)
0如果k0
AOAO
(4)rr(A)r(B);rr(A)r(B)
OBCB
(5)r(A)r(B)nr(AB)min[r(A),r(B)](n表示A的列数B的行数)
(6)r(A)r(B)nr(AB)n(7)AB=0r(A)r(B)n(n表示A的列数B的行数)
(8)A为实矩阵r(A)r(ATA)r(AAT)?
nr(A)n
*
(9)r(A)0r(A)n1

1r(A)n1
三、二阶方阵:
ab1db1
(1)AA
cdcaadbc
*db
(2)A记法:“主换位,副变号”
ca
四、分块阵
11
AOA1OOAOB1
,
11
OBOBBOAO
11
ACA1A1CB1AOA1O
,
1111
OBOBCBBCAB
五、可逆的判断法
A0r(A)nA的行(列)向量线性无关AX0仅有零解
,是初等矩阵(,,)
AP1P2PsPii1s
,且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数,下三角类同。
六、正交阵(AATATAI)
,A1。,AT也正交。,A1也正交。
,A*也正交。,ATA1。,AB也正交。
七、对角阵
,AAT为反对称阵(ATA)。
:则A*为反对称阵(n为偶数)
则A*为对称阵(n为奇数)
则A1为反对称阵(A0)
则AB反对称B对称且AB=BA
*为反对称阵,则A1也是反对称阵。
,则A*也是对称阵。
5*.实的反对称阵的i只能为0或bi形式。
口诀:1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及
AA*=A*A=|A|E。
2、若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出因子aA+bE再说。
第三章向量空间
1、A0A的行(列)向量无关,A0A的行(列)向量相关
口诀:1、若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关,先考虑用定义再说。
2、若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
第四章特征值与特征向量
一、重要公式
nnn
、、、可逆
1Ai2trAaiii3i0A
i1i1i1
1
11
4、可逆阵A的每行之和为a0,则A的一个特征值为a,且对应的特征向量为X

1
可逆kikEA0
5、kE-A的可逆性i为A的特征值
不可逆kikEA0
6、A可逆且有n个无关的特征向量A,A1,AA1有相同的n个无关的特征向量。
7、A~Br(A)r(B);tr(A)tr(B)
8、
B(A
矩阵f(A
A1kAAmA*P1AP(P1AP)TAT的初等
A)
变换)
特征Af(
1km不定
值)
特征不一
向量P1PT定是不定

二、相似与对角化(A为n阶方阵)
有n个不同的

A有n个线性无i
关的特征向量A~A为实对称矩阵
(iIA)X0
的每一个重有
AkiikiR(iIA)nki
有k个无关解
个线性无关的特征向量i
三、可对角化的判断方法
1、A为实对称矩阵
2、ij(ij)
、
3R(iIA)nki(ki为i重数)
四、合同(BPTAP,P可逆,记作:BA)
1、合同不一定有相同的i。
2、A合同于B,则R(A)=R(B)且A,B同号,A、B有相同的正惯性指数。
3、A合同于E,则A正定。
A,B为实
五、A、B有相同的特征值R(A)R(B)A等价BA、B对应正负惯性指数相同AB
对称阵
六、
变换关系变换阵性质
等价PAQ=BP、Q可逆秩不变
AB,tr(A)
1
相似PAPBP可逆秩不变i不变
=tr(B)
AB,tr(A)
1
正交相似CACBC正交秩不变i不变
=tr(B)
合同PTAPBP可逆秩不变对称性不变
口诀:1、若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。
2、若已知A的特征向量ξ0,则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下再说。
第五章二次型
一、正负定判断:
1、正定正惯性指数=nA的所有特征值i0n个主子行列式的值都为正数A合同于E。
2、负定负惯性指数=nA的所有特征值i0n个主子行列式的值负正相间
二、化二次型为标准型
1、配方法
A
2、合同变换法
EP
3、特征值法
口诀:若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。
口诀
第一句话:题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及
AA*=A*A=|A|E。
第二句话:若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
第三句话:若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出因子aA+bE再说。
第四句话:若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关,先考虑用定义再说。
第五句话:若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
第六句话:若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。
第七句话:若已知A的特征向量ξ0,则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下再说。
第八句话:若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。
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