第三章 循环群 群的结构 信息安全数学课件.ppt

文档介绍：该【第三章 循环群 群的结构 信息安全数学课件 】是由【yzhqw888】上传分享，文档一共【44】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【第三章 循环群 群的结构 信息安全数学课件 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第三章
循环群、群的结构
第三章循环群、群的结构
(重要)
(掌握)
(掌握)
、商群(重要)

如果一个群G里的元素都是某一个元素g的幂,则G称为循环群,(g).
无限循环群可表示为:
{…,g2,g1,g0,g1,g2,…},其中g0=e.
有限n阶循环群可表示为:
{g0,g1,g2,…,gn1},其中g0=e

,每一个元素都是1的“幂”.这里再次说明我们讨论的群里“乘法”是抽象的,,“乘法”就是普通加法,那么“幂”就是一个元素的连加,例如
1m=m=,
1m=m=.
而且规定
0=10,
即0为0个1相加.
循环群简单性质
由n阶循环群中gn=e,我们可以得到:设i,j是任意整数,
1)如果ij(modn),则
gi=gj.
2)gi的逆元
gi=gni.
3)是交换群
4)gn=e
元素的阶及其性质
1)a的所有幂两两不相等,于是以a为生成元的循环群
{…,a2,a1,a0=e,a1,a2,…}是无限循环群.
2)存在整数ij,使
ai=aj,
则
aij=e.
这表明存在正整数k=ij使
ak=e.
,这样的正整数不存在,称a是无限阶元素.
元素的阶及其性质
a是n阶元素,则序列
a0(=e),a1,a2,…,an1
两两不相同,而且a的一切幂都包含在这个序列中。
证明:(反证法)如果
ai=aj,0jin1,
则aij=e,而0ijn1,这与a是n阶元素矛盾.
对于任意整数m,:
m=qn+r,0rn,
于是
am=aqn+r=(aq)nar=ar,
因为ar在上面的序列中,则am也在上面的序列中
元素的阶及其性质
对于n阶元素a有
1)ai=e,当且仅当ni.
2)ak的阶为.
证明 n阶元素a生成n阶循环群:
{a0=e,a1,a2,…,an1}.
1)由于ni,则i0(modn),
于是ai=a0=e.
反之,由
i=qn+r,0rn,
得ai=aqn+r=(an)qar=ear=ar=e,
而n是使ak=e的最小正整数,所以r=0,故ni.
元素的阶及其性质
2)设l=.由于(k,n)k,则
于是由1)有(ak)l=akl=e.
而如果(ak)i=aki=e,
则nki,
因为
所以
故
是使(ak)i=e,
.
元素的阶及其性质

推论 由元素g生成的n阶循环群G中任意元素gk(0kn1)的阶为,当k,n互素时,gk的阶为n,也是G的生成元.
8阶循环群各个元素的阶分别为:
g0:1,g:8,g2:4,g3:8,
g4:2,g5:8,g6:4,g7:8.
其中共有4个生成元g,g3,g5,g7.
整数集合{0,1,2,…,n1}中与n互素的数有(n)个((n)—欧拉函数,以后我们还要深入讨论),因此n阶循环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成元.