二次根式知识点 典型例题 练习题.pdf

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1、定义:一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a≥0时,√ā
表示a的算术平方根,当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根
号下为负数,则无实数根)
概念:式子√ā(a≥0)叫二次根式。√ā(a≥0)是一个非负数。
题型一:判断二次根式
1
(1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、、x(x>0)、
x
1
0、42、-2、、xy(x≥0,y≥0).
xy
x
(2)在式子x0,2,y1y2,2xx0,33,x21,xy中,
2
二次根式有()

(3)下列各式一定是二次根式的是()
a
A.1D.
b
2、二次根式有意义的条件
题型二:判断二次根式有没有意义
1、写出下列各式有意义的条件:
11
(1)3x4(2)8a(3)m24(4)
3x
2x
2、有意义,则;
x1
x2x2
3、若成立,则x满足_______________。
3x3x
典型练****题:
1
1、当x是多少时,2x3+在实数范围内有意义?
x1
2x3
2、当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?
x
3、当__________时,x212x有意义。
4、使式子(x5)2有意义的未知数x有()个.

x
5、已知y=2x+x2+5,求的值.
y
6、若3x+x3有意义,则x2=_______.
1
7、若m有意义,则m的取值范围是。
m1
8、已知x222x,则x的取值范围是。
9、使等式x1x1x1x1成立的条件是
。
10、已知x33x2=-xx3,则( )
(A)x≤0 (B)x≤-3 (C)x≥-3 (D)-3≤x≤0
11、若x<y<0,则x22xyy2+x22xyy2=( )
(A)2x (B)2y (C)-2x (D)-2y
11
12、若0<x<1,则(x)24-(x)24等( )
xx
22
(A) (B)- (C)-2x (D)2x
xx
a3
13、化简(a<0)得( )
a
(A)a (B)-a (C)-a (D)a
3、最简二次根式的化简
最简二次根式是特殊的二次根式,他需要满足:(1)被开方数的因数是整
数,字母因式是整式;(2)
何将一个二次根式化为最简二次根式呢?
题型一:判断下列是不是最简二次根式:
12223
、、9x、ab2abb、
3
题型二:不同类型二次根式的化简成最简二次根式
一、被开方数是整数或整数的积
例1化简:(1)162;(2)3275.
解:(1)原式=812=922=922=92;
(2)原式=162253=42526=42522=206.
温馨提示:当被开方数是整数或整数的积时,一般是先分解因数,再运用
积的算术平方根的性质进行化简.
二、被开方数是数的和差
31
例2化简:()2()2.
22
91101
解:原式===10.
4442
温馨提示:当被开方数是数的和差时,应先求出这个和差的结果再化简.
三、被开方数是含字母的整式
例3化简:(1)18x4y3;(2)a2b2ab2b3.
解:(1)原式=32(x2)2y22y=3x2y2y;
(2)原式=b(a22abb2)=b(ab)2=(ab)b.
温馨提示:当被开方数是单项式时,应先把指数大于2的因式化为(am)2或
(am)2a的形式再化简;当被开方数是多项式时,应先把多项式分解因式再化
简,但需注意,被移出根号的因式是多项式的需加括号.
四、被开方数是分式或分式的和差
3x3yx
例化简:()()
4122
8abxy
3x32bx26bxx
解:()原式;
1=2==6bx
8ab2b42a2b22ab
x2y2(x2y2)xy1
(2)原式===xy(x2y2).
xyx2y2xy
温馨提示:当被开方数是分式时,应先把分母化为平方的形式,再运用商
的算术平方根的性质化简;当被开方数是分式的和差时,要先通分,再化简.
典型练****题:
x
1、把二次根式(y>0)化为最简二次根式结果是().
y
xxy
A.(y>0)(y>0)C.(y>0)
yy
2、化简x4x2y2=_________.(x≥0)
a1
3、a化简二次根式号后的结果是_________.
a2
y
4、已知xy0,化简二次根式x的正确结果为_________.
x2
abc2d2
5、已知a、b、c为正数,d为负数,化简=______.
abc2d2
4、同类的二次根式
2
1、以下二次根式:①12;②22;③;④27中,与3是同类二次根
3
式的是().
A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④
1221
2、在8、75a、9a、125、3a3、、-2中,与3a是同
33a8
类二次根式的有______
12a
3、ab、a3b、是同类二次根式.…( )
3xb
4、若最简根式3ab4a3b与根式2ab2b36b2是同类二次根式,求a、b的
值.
22
5、若最简二次根式3m22与n14m210是同类二次根式,求m、n的值.
3
5、二次根式的非负性
1+b1=0,求a2004+b2004的值.
y1+x3=0,求xy的值.
yy24y40,求xy的值。
1+y3=0,则(x-1)2+(y+3)2=____________.
,b为实数,且1ab11b0,求a2005b2006的值。
aa≥0

6、a2a的应用

aa<0
≥0时,a2、(a)2、-a2,比较它们的结果,下面四个选项中正确
的是().
=(a)2≥->(a)2>-a2
<(a)2<-a2D.-a2>a2=(a)2
:当a=9时,求a+12aa2的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+(1a)2=a+(1-a)=1;
乙的解答为:原式=a+(1a)2=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.
│1995-a│+a2000=a,求a-19952的值.
(提示:先由a-2000≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值)
-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x3)2+x210x25。
1
的结果是().
a
A..-aD.-a
1
(a-1)中根号外的(a-1)移入根号内得().
a1
7、求值问题
=15+7,y=15-7,求x2-xy+y2的值
=3+22,b=3-22,则a2b-ab2=_________.
x
=3-1,求a3+2a2-a的值
y3
21y
+y2-4x-6y+10=0,求(x9x+y2)-(x2-5x)的值.
3xx
414
≈,求(80-1)-(3+45)的值.(结果精确到
555
)
,再求值.
y3x3
(6x+xy3)-(4y+36xy),其中x=,y=27.
xyy2
1x1x2xx1x2x
=时,求+的值.(结果用最简二次根
21x1x2xx1x2x
式表示)(注:设分子分母分别为a、b,求出a+b与a-b)
变形题7::
1
3x10,求x22的值。
x2
3232x3xy2
9、已知x=,y=,求的值.(先化简xy,
3232x4y2x3y2x2y3
再化简分式,求值)
x2xx2a21
10、当x=1-2时,求++的值.
x2a2xx2a2x2xx2a2x2a2
1xy
11、若x,y为实数,且y=14x+4x1+.求2-
2yx
xy
2的值.
yx
8、比较大小的问题
1、设a=32,b=23,c=52,则a、b、c的大小关系是
。
2、35与26比较大小。
3、化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________.
4、9.23和32的大小关系是()
A.2332B.2332C.23
9、二次根式的整数部分、小数部分的问题
1、x,y分别为8-6的整数部分和小数部分,则2xy-y2=____________.
2、已知ab分别是6-13的整数部分和小数部分,那么2a-b的值为多少?
3、1的整数部分为a,小数部分为b,试求11ab1的值。
10、二次根式的化简计算
1、当a<0,b<0时,-a+2ab-b可变形为( )
(A)(ab)2 (B)-(ab)2 (C)(ab)2 (D)
(ab)2
542
2、(532)(532);3、--;
41111737
2122533b
5.1216.abab3
335b2a
nabnmn
4、(a2-mn+)÷a2b2;
mmmnm
bababab
5、(a+)÷(+-)(a≠b).
ababbabaab
nn1n3n
6、·(-)÷(m>0,n>0)
m2m3mm32m3
3m23n23mna2
7、-3÷()×(a>0)
2a22a2mn
22
11abab2ab
8、aa9、
aaabab
xyyxyxxy
10、11、
xyyxyxxy
a2abbaba

abaabbabbab