文档介绍：第八章非线性问题
非线性问题
材料非线性:材料本构关系非线性引起。可分为两类:(1)非线性弹性问题(橡皮、塑料、土壤等),过程可逆;(2)非线性弹塑性问题:材料屈服以后表现,过程不可逆。二者加载同,卸载不同。
几何非线性:大位移、大转动引起。(板壳结构大挠度问题,锻压成型)大位移小应变问题材料线性;大位移大应变问题材料非线性,双重非线性。
接触非线性
非线性问题基本解决思路
材料非线性:分段线性化,方程形式不变,将材料本构关系线性化,分段求解,将线性问题的方程推广用于非线性问题。
几何非线性:常用增量分析法,建立变化位的平衡方程。有两种表达格式:(1)在整个分析过程中参考位保持不变,始终取初始位,称为完全Lagrange格式;(2)在整个分析过程中参考位不断被更新,参考前面每一步荷载步开始的位形,称为修正Lagrange格式。
求解方法:割线刚度法(直接迭代法)、切线刚度法(N-R法) 、初应力法(mN-R法)和增量法。
非线性求解方法
结构整体平衡方程:
(1)假定初始近似解:
(2)由本构关系求出
(3)由平衡方程求得下一步近似解:
(4)重复(2)和(3),直到两次结果非常接近。
1、割线刚度法(直接迭代)
初始线弹性解
R
P-δ凸时收敛,凹时可能发散。
2、切线刚度(N-R法)
任何具有一阶导数的连续函数Ψ(x),在xn点的一阶Taylor展开:
非线性方程Ψ(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
Newton-Raphson迭代公式
针对结构平衡方程:
Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F (δ) } -{R}= 0
利用N-R公式,有:
每次迭代需要修改K。
迭代过程
3、初应力法(mN-R法)
材料本构关系可表示
设想用具有初应力的线弹性物理方程代替上式:
可改写为: