文档介绍：工具中的数学原理
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一、勾3股4弦5与圆的直径快速测量工具
为了快速测量树木(截面看作圆)的直径,林场工人制作制作了如图所示的测量工具:点C、D分别在∠XPY的边PX、PY上,且△PCD中,PC=3,CD=4,PD=5。测量时只要用测量工具(∠XPY)卡住树木(即使∠XPY的边与⊙O相切),读出切点A的读数(切线长PA),就是树木的直径。你知道它的原理吗?
分析:显然△PCD是直角三角形,设∠XPY=α,则sinα= 。
因为PX、PY分别切⊙O于点A、B,所以OA⊥PA,∠OPA=。
记tan=t ,根据三角函数万能公式,得sinα= ,即= ,
解得t=(t=2不合题意,舍去)。
所以,=,即PA=2OA。
也就是说,PA等于⊙O的直径。
注:此时,∠XPY≈53°08’。此外,本例也可用相似形、三角形角平分线的性质来证明,这里从略。
二、并联电阻总电阻“计算尺”
(一)求两个电阻并联后的总电阻
要求两个电阻R1、R2并联后的总电阻,可先在平面上任取一点O,用OX、OZ、OY三矢量作为坐标轴,且∠XOZ=∠ZOY=60°。再在OX轴上取OA的长度等于R1的值,在OY轴上取OB的长度等于R2值,连结AB,交OZ轴于点C,则OC的长度即为电阻R1、R2并联后的总电阻R。例如:R1=6Ω,R2=3Ω,可求得并联总电阻R=2Ω。
证明:因为S△AOB=S△AOC+S△BOC
即 OA·OB·sin120°= OA·OC·sin60°+OA·OC·sin60°
所以OA·OB =OA·OC+OB·OC
所以R1·R2=R1·R+R2·R
所以 R=。
注:本例也可以通过作平行线,运用相似形的性质来证明,这里从略。
(二)求