文档介绍：《工科数学分析II》期末考试复习提纲
第16章重积分
二重积分、三重积分的定义以及性质;重积分的计算方法:化为累次积分或换元法;重积分的物理应用:计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。
重点:1、正确交换积分顺序;2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。
典型例题
计算二重积分,其中, .
解:将重积分化为累次积分即可。
通过交换积分次序计算累次积分(1),(2).
解:可用作图法或不等式法交换积分顺序。例,等价于。
计算二重积分,, 其中.
提示:关于y轴的对称性。见223页注。
通过换元计算椭圆盘的面积. (其中)
提示:单位特征向量是一组标准正交基。
计算二重积分,.
计算二重积分,:x=arcosθ, y=brsinθ。
计算二重积分,其中.
提示:u=x-y, v=x+y。
计算二重积分,其中由所围而成。提示:u=x2-y2, v=xy。
设为一连续函数, 求极限.
提示:216页积分中值定理。
计算三重积分,其中由曲面所围而成.
解:积分区域由如下不等式确定:-1≤x≤1, x2≤y≤1, 0≤z≤x2+y2。称它为一个x-y-z型区域,即先对z积分,再对y,最后对x。以此顺序则表达式最为简洁。
计算三重积分,其中为椭球。参考第6题。
计算三重积分,:积分区间关于xy平面对称,积分函数是z的奇函数,因此积分为0。
计算三重积分,其中由曲面,,所围而成。提示:积分区域及函数是xy-z型区域,即先在圆盘上重积分(不妨用极坐标),再对z积分。
计算三重积分,其中由曲面和曲面围成。提示:同上,对z积分时注意分段。
设密度为1的平面薄板由,与轴围成,求它绕轴旋转的转动惯量。
设薄片所占的闭区域是介于两个圆之间的闭区域,求均匀薄片的重心.
求密度为1的均匀球锥体(即锥体被球面截下的部分)对于在其顶点为以单位质量的质点的吸引力,设球的半径为,而轴截面的扇形的角等于.
第17章,向量场的曲线积分与Green公式
第一型曲线积分的概念,性质与计算,第二型曲线积分的概念,性质与计算,Green公式,积分与路径无关的四个等价条件,判断全微分并求其原函数,曲线积分的物理应用。
全微分求原函数以7-12题为例。
典型例题
求第一型曲线积分,其中为曲线,().见262页。第3、5题同理。
求第一型曲线积分,其中为双扭线.
解:双扭线的极坐标方程为r2=acos2θ,因此ds=√(asec2θ)dθ。利用对称性,原式=40π/4asinθdθ。
求第一形曲线积分,其中为旋轮线的一拱.
求螺线()对轴的转动惯量.
求第二型曲线积分,其中曲线为依参数增加的方向行进的曲线().
计算,为球面片,,,的边界,方向是从到到再回到.
提示:由对称性,原式=3=3=6
计算曲线积分,其中为由点至点
的上半圆周.
提示:是全微分;可用极坐标求出。
计算第二型曲线积分,其中为一条包围原点的曲线.
提示:是全微分;答案为。
利用格林公式计算星形线所围区域的面积。
解:(重要公式)2dxdy=-ydx+xdy。再代入x=acos3t, y=asin3t。
计算第二型曲线积分.
提示:是全微分。
计算第二型曲线积分.
解:全微分求原函数:先将积分得,再看中哪些项