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第一部分
等差数列
一
定义式:an
an1
d
二
通项公式:an
am
(n
m)d
a1
(n
1)d
一个数列是等差数列的等价条件:anan
b(a,b为常数),即an是对于n的一次函数,因
为n
Z,因此an对于n的图像是一次函数图像的分点表示形式.
三
前n项和公式:
n(a1
an)
Sn
2
①
na中间项
②
na1
n(n
1)
2
d
③
依据序号次序,使用公式。即首选①公式解题,再选②、③
一个数列是等差数列的另一个充要条件:Sn
an2
bn(a,b为常数,a≠0),即Sn是对于n的
二次函数,由于nZ,因此Sn对于n的图像是二次函数图像的分点表示形式.
四性质结论
(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,
如:3个数a—d,a,a+d;4个数a—3d,a-d,a+d,a+3d
(二)a与b的等差中项A
a
b;
2
在等差数列an
中,若m
n
pq,则
am
anap
aq;若m
n2p,则am
an
2ap;
(三)若等差数列的项数为2nn
N
,则S偶
S奇
nd,
S奇
an
S偶
;
an1
若等差数列的项数为2n1n
N
,则S2n1
2n
1an,且S奇
S偶
S奇
n
an,
n1
S偶
(四)
Aa1
a2
an,,Ban1
an2
a2n,
Ca2n
1a2n2
a3n,则有
2B
AC;
(五)a1
0,Sm
Sn,则前Sm
n(m+n为偶数)或Smn1(m+n为奇
2
2
数)最大
第二部分
等比数列
一
an
q(n2,an
0,q0)
{an}成等比数列。
定义:
an1
二
通项公式:an
a1qn1
a
a
m
qnm
,
n
1
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:
n
1),(a0,b
0,1)当
q
0
且
q
0an
对于
n
的图像是指数函数图像的分点
Sa(bn
时,
表示形式。
na1
(q
1)
三
前n项和:Sn
n
;
a1(1q)a1
an1q(q1)
1
q
1
q
(注意对公比的议论)
四
性质结论:
(一)a与b的等比中项G
G2
ab
G
ab(a,b同号);
(二)在等比数列an
中,若mn
pq,则amanap
aq;
若mn
2p,则aman
ap2;
(三)设Aa1a2
an,,Ban1
an2
a2n,
Ca2n1a2n2
a3n,则有B2
AC
第三部分求杂数列通项公式an
一结构等比数列:凡是出现对于后项和前项的一次递推式都能够结构等比数列求通项公式.
第一类:
3an2an1
50
3(an5)2(an15)
an
5
2
5}
an1
5
{an
3
是公比为2的等比数列
3
第二类:
an13an4n80
an12(n1)5
an2n5
是公比为3的等比数列
第三类:anan1
an
5(a1
5)(
2
)n1,进而求出an。
3
an1
2(n
1)5
3(an2n5)
3
{an2n5}
an
2n5(a1
7)3n1.
3n,系数之比为1的时候用叠加法。
第四类:既有Sn又有an利用SnSn1
an,将全部S换成a,或许将全部a换成S。
第五类:对于an与an1的二次式,或许Sn与Sn1的二次式,先因式分解成一次式,再结构等比
数列。
二
结构等差数列:递推式不可以结构等比时,结构等差数列。
第一类:凡是出现分式递推式都能够结构等差数列来求通项公式,
比如:an11
2an11
两边取倒数
11
an1a11
第二类:
an
1
,
an
1
2
1
{
1}是公差为2
的等差数列
11
an
1
an
1
2(n
1),进而求出an。
2
(n21)an
n2an1
n(n1)
n1an
n
an
1
1
n1an
是公差为1的等差数列
n
n1
n
n1an
11a1
an
2n
n
1
n1
三
递推:即依据后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。
比如an
nan1
an
nn1an2
ann!a1
【注:n!
n(n
1)(n
2)
1】
求通项公式an的题,不可以够利用结构等比或许结构等差求an的时候,一般经过递推来求an。
第四部分
求前n项和Sn
一
裂项分组法:
1
1
1
1
1
1
1
1
12
23
34
(
)
1
,2
,3
,4,的前n和是:
1
nn
1
1
1
3
1
1
1
1
1
、
9
27
81
(
)
(
)
(
)
(
)
)+(1+1+1+1
12
23
34
nn1
(++++
)
1
1
n
1
2
3
4
392781
1
n
1
n1
二
错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积组成的数列乞降时用此方法,
求:
S=x
3x2
5x3
(2n-5)xn-2
(2n-3)xn-1
n
(2n-1)xn(x
1)
Sn=x
3x2
5x3
(2n-5)xn-2
(2n-3)xn-1
(2n-1)xn(x
1)①
xSn=x2
3x3
5x4
(2n-5)xn-1
(2n-3)xn
(2n-1)xn+1
(x
1)②
①减②得:
(1x)S=x
2
3
n-1
n
2n1x
n+1
2x
2x
2x
2x
n
x
2x21
xn-1
2n1xn+1
1
x
进而求出Sn。
错位相减法的步骤:
(1)将要乞降的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q,获得②式
(3)用①②,错位相减
(4)化简计算
三倒序相加法:前两种方法不可以时考虑倒序相加法
1:等差数列乞降:
Sn=a1a2a3an2an1an
Sn=anan1an2a3a2a1
两式相加可得:
3
2Sn=a1
an
a2
an1
a3
an2
a3
an2
a2
an
1
a1
an
na1
an
Sn
2:设f(x)
1
.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得
2x
2
f(
5)
f(
4)
......
f(0)
......f(5)
f(6)的值为_________.
Sn
f(
5)
f(
4)
f(5)
f(6)
①
Sn
f(6)
f(5)
f(4)
f(5)
②
①+②得
2Sn
f(
5)
f(6)
f(
4)
f(5)
f(5)
f(4)
f(6)
f(5)
f(n)
f(n
1)
1
1
2
2n
2
2n1
2
2,
∴Sn
3
2
4