高中数学数列知识点总结(经典).pdf

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数列基础知识点和方法归纳

定义:an1and(d为常数),ana1n1d
等差中项:x,,Ay成等差数列2Axy
a1annnn1
前n项和Snna1d
22
性质:an是等差数列
(1)若mnpq,则amanapaq;
(2)数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列,Sn,,…S2n…SnS3nS2n仍为等差数
2
列,公差为nd;
(3)若三个成等差数列,可设为ad,,aad
amS2m1
(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则
bmT2m1
(5)a为等差数列San2bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函
nn
数)
S的最值可求二次函数San2bn的最值;或者求出a中的正、负分界项
nnn
,
an0
即:当a10,d0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.
an10
an0
当a10,d0,由可得Sn达到最小值时的n值.
an10
(6)项数为偶数的等差数列2nan有
,
S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)
S奇an
S偶S奇nd,.
S偶an1
1:.
(7)项数为奇数的等差数列2n1an有
,
S2n1(2n1)an(an为中间项),
S奇n
S奇S偶an,.
S偶n1

an1n1
定义:q(q为常数,q0),ana1q
a.
n
等比中项:x、、Gy成等比数列G2xy,或Gxy
.
na1(q1)
n
前n项和:Sna11q(要注意!)
(q1)
1q
性质:an是等比数列
(1)若mnpq,则am·anap·aq
(2)S,,…S…SSS仍为等比数列,公比为qn.
n2nn3n2n
注意:由Sn求an时应注意什么?
n1时,a1S1;
n2时,anSnSn1
.

(1)求差(商)法
111
如:数列an,a12a2……nan2n5,求an
222
1
解n1时,a1215,∴a114①
2
111
n2时,a12a2……n1an12n15②
222
1n114(n1)
①—②得:nan2,∴an2,∴ann1
22(n2)
5
[练习]数列an满足SnSn1an1,a14,求an
3
2:.
Sn1n
注意到an1Sn1Sn,代入得4又S14,∴Sn是等比数列,Sn4
Sn
;
n1
n2时,anSnSn1……3·4
(2)叠乘法
an1n
如:数列an中,a13,,求an
ann1
a2a3an12n1an13
解·……·……,∴又a13,∴an
a1a2an123na1nn.
(3)等差型递推公式
由anan1f(n),a1a0,求an,用迭加法
a2a1f(2)

a3a2f(3)
n2时,两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)
…………
anan1f(n)
∴ana0f(2)f(3)……f(n)
1n
n1an31
[练习]数列an中,a11,an3an1n2,求an2
()
(4)等比型递推公式
ancan1d(c、d为常数,c0,,c1d0)
可转化为等比数列,设anxcan1xancan1c1x
ddd
令(c1)xd,∴x,∴an是首项为a1,c为公比的等比数列
c1c1c1
ddn1dn1d
∴ana1·c,∴ana1c
c1c1c1c1
(5)倒数法
2an
如:a11,an1,求an
an2
3:.
1an211111
由已知得:,∴
an12an2anan1an2
111111
∴为等差数列,1,公差为,∴1n1·n1,
ana12an22
2
∴an
n1
(
附:
S1(n1)
a
公式法、利用nSnSn1(n2)、累加法、
an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换
元法
)

(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
n1
如:an是公差为d的等差数列,求
k1akak1
11111
解:由d0
ak·ak1akakddakak1
n1n1111111111
∴……
k1akak1k1dakak1da1a2a2a3anan1
111

da1an1
111
[练习]求和:1……
12123123……n
1
an…………,Sn2
n1
(2)错位相减法
4:.
若an为等差数列,bn为等比数列,求数列anbn(差比数列)前n项和,可由
SnqSn,求Sn,其中q为bn的公比.
如:S12x3x24x3……nxn1①
n
234n1n
x·Snx2x3x4x……n1xnx
②
①—②1xS1xx2……xn1nxn
n
1xnn
nxnn1
x1时,Sn2,x1时,Sn123……n
1x1x2
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
Sna1a2……an1an
相加2Sna1ana2an1…a1an…
Snanan1……a2a1
x2
[练习]已知f(x)2,则
1x
111
f(1)f(2)ff(3)ff(4)f
234
2
1
1x2x21
x
由f(x)f22221
x1x11x1x
1
x
11111
∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f1113
23422
(附:

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我
5:.
导航教育独家经典讲义
们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究
同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。

对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行
求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数
列之后,再计算。

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从
而求出数列的前n项和。

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再
与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条
件下,可把这个式子变成an+1-
an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an
,从而求出Sn。

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数
列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
6:.
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所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造
出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
)
7:.
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8:.
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9:.
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