文档介绍：该【高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案(含解析)4-5 】是由【大笑大甜】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案(含解析)4-5 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。学必求其心得,业必贵于专精
绝对值三角不等式
(1)定理1:假如a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成
立.
几何解说:用向量a,b分别替代a,b.
①当a与b不共线时,有|a+b|〈|a|+|b|,其几何意义为:三角形的两边之和大于
第三边.
②若a,b共线,当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,|a+b〈||a|
+|b|。
因为定理1与三角形之间的这类联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.
③定理1的推行:假如
,
b
是实数,则||
|-|
b
||≤|
a
±|≤||+|
b
|.
a
a
ba
(2)定理2:假如a,b,c是实数,那么|
a-c|≤|a-b|+|b-c|。
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号建立.
几何解说:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,
当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.
当点B不在点A,C之间时:①点B在点A或点C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;
②点B不在点A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
应用:利用该定理能够确立绝对值函数的值域和最值.
含绝对值不等式的判断与证明
已知|A-a|<错误!,|B-b|〈错误!,|C-c|<错误!。
求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|〈s.
错误!错误!错误!错误!错误!―→错误!
(A+B+C)-(a+b+c)|
=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|
|(A-a)+(B-b)|+|C-c|
≤|A-a|+|B-b|+|C-c|。
因为|A-a|〈错误!,|B-b|<错误!,|C-c|〈错误!,
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学必求其心得,业必贵于专精
因此|A-a|+|B-b|+|C-c|<错误!+错误!+错误!=s.
因此|(A+B+C)-(a+b+c)|<s。
含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,常常可经过平方法、
换元法去掉绝对值转变为常有的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b|
|≤|a±b|≤|a|+|b|,经过适合的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝
对值的不等式,常常可考虑利用一般状况建立,则特别状况也建立的思想,或利用一元二次
方程的根的散布等方法来证明.
,
是知足
<0的实数,则以下不等式中正确的选项是(
)
ab
ab
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|〈|a|+|b|
分析:选B
∵
〈0且|-|
2=
2+
b
2-2
,
ab
ab
a
ab
(a+b)2=a2+b2+2ab<|a-b|2.
(|a|+|b|)2=a2+b2+2|ab|=|a-b|2.
故A、D不正确;B正确;
又由定理1的推行知C不正确.
>0,|x-a|<错误!,|y-a|〈错误!。
求证:|2x+3y-2a-3b|<ε.
证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=
2|x-a|+3|y-b|<2×错误!+3×错误!=ε.
绝对值三角不等式的应用
求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1).若|a|≤1,求|f(x)|的最大值.
利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解.
1)法一:||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.
ymax=4,ymin=-4.
法二:把函数看作分段函数.
y=|x-3|-|x+1|=错误!
∴-4≤y≤4.
ymax=4,ymin=-4.
∵|x|≤1,|a|≤1,
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学必求其心得,业必贵于专精
∴|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|
=|a||x2-1|+|x|≤|x2-1|+|x|
=1-|x2|+|x|=-|x|2+|x|+1
=-错误!2+错误!≤错误!。
∴|x|=错误!时,|f(x)|获得最大值错误!。
(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转变,结构绝对值不
等式的形式.
求最值时要注意等号建立的条件,它也是解题的重点.
3.(江西高考)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为
________.
分析:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,
因此|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2,
当且仅当
x
∈,
y
∈时,|
x
|+||+|
x
-1|+|
y
-1|获得最小值
2,
y
而已知|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,
因此|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,
此时x∈,y∈,因此x+y∈.
答案:
(x)=|x-1|+|x+1|的最小值.
解:∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2,当且仅当(1
x)(1+x)≥0,
即-1≤x≤1时取等号.∴当-1≤x≤1时,函数f(x)=|x-1|+|x+1|获得最小
值2.
,不等式|x+1|-|x-2|〉a恒建立,求a的取值范围.
解:由题意知a<|x+1|-|x-2|对随意实数恒建立,
∴a<min.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3.
∴min=-3。
∴a<-(-∞,-3).
课时追踪检测(四)
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,以下结论正确的选项是()
3
学必求其心得,业必贵于专精
,b异号时,左侧等号建立
,b同号时,右侧等号建立
+b=0时,两边等号均建立
+b>0时,右侧等号建立;当a+b〈0时,左侧等号建立
分析:选B当,
b
异号且|
|〉||时左侧等号才建立,A不正确,明显
B正确;
a
a
b
当a+b=0时,右侧等号不建立,
C不正确,D明显不正确.
!<1建立的充要条件是(
)
,b都不为零
<0
,b中起码有一个不为零
分析:选B原不等式即为|a+b|〈|a|+|b|?
a2+b2+2ab〈a2+b2+2|ab|?ab<0。
,b,c∈R,且a>b〉c,则有(
)
A.|a|〉|b|〉|c|
B.|ab|〉|bc|
C.|a+b|>|b+c|
D.|a-c|>|a-b|
分析:选D∵
,,
c
∈R,且
a
〉>
,令
a
=2,=1,
c
=-6。
a
b
bc
b
∴|a|=2,|b|=1,
|c|=6,|b|〈|a|〈|c|,故清除A.
又|ab|=2,|bc|=6,|ab|<|
bc|,故清除B。
又|+|=3,|
b
+
|=5,|
a
+|〈|
+
|,清除C.
ab
c
b
bc
而|a-c|=|2-(-6)|=8,|a-b|=1,∴|a-c|>|a-b|.
|a|<1,|b|〈1,则|a+b|+|a-b|与2
的大小关系是(
)
A.|a+b|+|a-b|〉2
B.|a+b|+|a-b|〈2
C.|a+b|+|a-b|=2
分析:选B当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|
a|<2。
当(a+b)(a-b)〈0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2。
|x-1|-|x-2|〈a恒建立,则a的取值范围为________.
分析:若使不等式|x-1|-|x-2|〈a恒建立,只需a>(|x-1|-|x-2|)max。
因为|x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1,
故a>1。故a的取值范围为(1,+∞).答案:(1,+∞)
,b∈R,|a-b|>2,则对于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是
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学必求其心得,业必贵于专精
________.
分析:∵|
x
-
|+|
x
-|=|
a
-|+|-|≥|(
a
-
)+(
-
)|=|
a
-|>2,
a
b
x
xb
x
x
b
b
∴|x-a|+|x-b|>2对x∈R恒建立,故解集为(-∞,+∞)
.
答案:(-∞,+∞)
:
logx10+lgx≥2(x〉1);
②|a-b|<|a|+|b|;③错误!≥2(ab≠0);
④|x-1|+|x-2|≥1。此中恒建立的是______(把你以为正确的序号都填上).
分析:logx10+lgx=错误!+lgx≥2,①正确;ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
∵ab≠0时,错误!与错误!同号,
∴错误!=错误!+错误!≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒建立,④正确.
综上可知①③④正确.
答案:①③④
,y∈R,且|x+y|≤错误!,|x-y|≤错误!,求证:|x+5y|≤1.
证明:|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|。
由绝对值不等式的性质,得
|x+5y|=|
3(x+y)-2(x
-y)|≤|3(
x+y)|
+|2(x-y)|
=3|x+y|+
2|x-y|≤3×
错误!+2×错误!=1,即|x+5y|≤1。
f
(
)=
x
2-
+
,|
x
-|〈1,求证:|
f
(
x
)-
(
a
)|〈2(|
|+1).
x
x
b
a
f
a
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证明:∵f(x)-f(a)=x-x-a+a=(x-a)(x+a-1),
=|x-a||x+a-1|〈|x+a-1|
=|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+2|a|+1<2|a|+2=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|〈2(|a|+1).
=|x-4|+|x-3|。求:
1)y的最小值;
2)使y〈a有解的a的取值范围;
(3)使y≥a恒建立的a的最大值.
解:(1)y=|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|
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学必求其心得,业必贵于专精
|(x-4)+(3-x)|=1,
ymin=1。
2)由(1)知y≥1,要使y<a有解,∴a>1,即a的取值范围为(1,+∞).
3)要使y≥a恒建立,只需y的最小值1≥a即可,
amax=1.
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学必求其心得,业必贵于专精
攀上山岳,见解险峰,你的人生中,或许你就会
有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,或许就会有腊
梅的凌寒单独开的气势,或许就会有春季的百花争艳的画
卷,或许就会有钢铁般的意志.
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