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波利亚的《怎样解题》.docx

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波利亚的《怎样解题》.docx

上传人:泰山小桥流水 2022/9/29 文件大小:739 KB

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波利亚的《怎样解题》.docx

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波利亚的《如何解题》(word版)
第一部分在教室中
目的

教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务其实不很简单,它需要时间、实践、热情以及健全合理的原则。
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学生应该有尽可能多的独立工作经验。但是假如让他独自面对问题而得不任何帮助也许帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多,学生却又无事可干,教师对学生的帮助应该不多许多,恰使学生有一份合作。


那么
理的工
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假如学生不太可以独立工作,那末教师也最少应该使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点,教师应该考虑周密地、不惹眼地帮助学生。
但是,对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应该身临其境,应该认识
学生状况,应该弄清学生正在想什么,并且提出一个学生自己可能会产生的问题,也许指出一个学生自己可能会想出来的步骤。
、建议、思想活动
在打算对学生进行有效、不惹眼而又自然的帮助时,
教师难免一而再,再
而三地提出一些相同的问题,
指出一些相同的步骤。这样,在大量的问题中,

们总是问:未知数是什么?我们可以变换提法,以各样不一样的方式发问同一个

题:求什么?你想找到什么?你假设求的是什么?这种问题的目的是把学生的注

力集中到未知数上。有时,我们用一条建议:看着未知数,来更加自然地达

同一成效。问题与建议都以同一成效为目的:即妄图引起相同的思想活动。
从作者看来,在与学生谈论的问题中,采集一些典型的实用问题和建议,

加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这种经过认真优选与安排的问题

建议;它们关于那些能独立解题的人也相同实用。读者充分熟悉这张表并且

出在建议以后所应采纳的行动以后,
他会感觉这张表中所间接列举的是对解

很实用的典型思想活动。这些思想活动在表中的次序是按其发生的可能性大

摆列的。
,
比方:未知数是什么?

知数是什么?条件是什么?这些问题都是广泛适用的,关于所有各种问题,我们
提出这些问题都会获得优秀成效。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可
以是代数的或几何的,数学的或非数学的,理论的或实质的,一个严肃的问题

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不过是个谜语。这没什么差异,上述问题都是有意义的,并且有助于我们解
题。
事实上,还存在一个限制,但是这与论题没关。表中某些问题与建议,只能
用于“求解题”而不可以用于“求证题”。假如我们的问题属于后者,则一定采
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用其余发问方法,见第三部分“求解题,求证题”这一段。
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我们这张表中的问题与建议是拥有广泛性的,但是除掉其广泛性以外,它
们也是自然的、简单的、不问可知的并且来自于一般知识。比方这条建议:看着
未知数!试想出一个拥有相同未知数或近似未知数的熟悉的问题,
这条建议不

如何总是劝说你去做你想做的事,而关于你认真要解决的问题并未提出详尽

劝说。你能否是肚子饿了?假如你希望搞点吃的,你就会想起你所熟悉的搞到

物的一些方法。你能否是有一个几何作图题?假如你想作一个三角形,你也会

起你所熟悉的一些作三角形的方法。你能否有一个随意的问题
?你若希望找出

个未知数,你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的近似未知数的一些

法。假如你这样做了,那你的路子也是仇人的;这个建议是个好建议,它向

提出一个常能成功的程序。
我们表中的所有问题与建议都是自然的、
简单的、不问可知的,并且只不

是一般知识;但是这张表把知识概括地加以表达。这张表所提出的办理方法

于那些认真对待其问题并有某些知识的人来说是很自然的。但是按正确道路

动的人常常不注意用明确的语言来表达其行动,
并且他可能根本不会这样做;

们这张表却试试去表达这些。
,模拟与实践当教师向学生提出表中的问题或建议时,他可能有
两个目的:第一,帮助
学生解决手头的问题;第二,培育学生未来可以独立解题的能力。
经考据明,适合使用我们表中的问题与建议,常能对学生有所裨益。此表有
两个特点:知识性与广泛性。因为此表本源于一般知识,所以显得很自然,学
生自己也会提出这种问题。因为此表拥有广泛性,所以它们对学生的帮助并不是
强加于人;它们只但是指出了一般的方向,而留给学生去做的还好多。
上述两个目的是亲近相关的。假如学生在解决手边的问题中获取成功,他
就提高了一些解题的能力。这时,我们不该该忘记我们所发问题拥有广泛性而
且可适用于好多状况。假如同一个问题屡次地对学生有所帮助,那么他就会注
意到这个问题,于是在近似的状况下,他自己就会提出这个问题。经过屡次地提
出这个问题,他总会有一次成功地引诱出正确的念想。经过这样一次成功,他
便发现了利用这个问题的正确门路,于是,他真实地意会了它。
学生可能对我们表中的一些问题意会得很好,以致他最后可以在适合的时
刻向自己提出正确的问题,并进行相应的自但是活跃的思想活动。这样,学生就
无疑从我们的表中获取了尽可能多的收获。为了获取尽可能好的结果,教师可
以做些什么事呢?
解题,比如,就好象游泳相同,是一种实质技术。当你学****游泳时,你模拟
其余人的手足动作使头部保持在水面上并最后经过实践(实地练****游泳)来学会游泳。当试图解题时,你也一定观察并模拟其余人在解题时的所作所为,并且最后经过实践来学会解题。
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希望提高学生解题能力的教师,一定培育学生的兴趣,而后给他们供给大量的机遇去模拟与实践。假如教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问题与建议的思想活动,那么他就应该尽可能地常常而自然地向学生提出这些问题和建议。其余,当教师在全班眼前解题时,他应该使其思路更吸引人一些,且应该向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。因为这样的指导,生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法,并且这样做今后,他将到比任何详尽数学知识更加重要的东西。




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主要部分,主要问题

在求解过程中,我们很可能再三地改变我们的看法,也许改变考虑问题的
门路。我们应该不断地改正我们的出发点。当我们开始着手解题时,我们对问

的看法可能很不完好;当我们有些进展今后,我们的见解就不一样了;而当我

几乎已经获取解答的时候,见解就会更不相同。
为了把我们表中的问题与建议进行适合分组,我们把工作分为四个阶段。
第一,我们一定认识问题;我们一定清楚地看到要求的是什么
?其次,我们一定

解各个项之间有如何的联系
?未知数和数据之间有什么关系
?为了获取解题的
思路,应该拟定一个计划。第三,实现我们的计划。第四,我们回顾所完成的

答,对它进行检查和谈论。
上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的状况:一个学生想出了一个
异常好的念想,于是跳过所有的预备步骤,解答就信口开河了。这样好运的念

自然是梦寐以求的,但是也可能发生很不如愿和很不走运的事:即,学生通

上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念想。最糟糕的状况是:学生并

有理解问题就进行演算或作图。一般说来,在还没有看到主要联系也许还没有作

某种计划的状况下,去办理细节是毫无用途的。假如学生在实行其计划的过

中检查每一步,就可以防范好多错误。假如学生不去重新检查或重新考虑已

成的解答,则可能失去某些最好的成效。
7、弄清问题
回答一个你还没有弄清的问题是愚笨的。
去做一件你不肯干的事是可悲的。

校内外,这种愚笨和可悲的事情却常常发生,但教师应力争防范在他的班级

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发生这样的事。学生应该弄清问题,但是他不但应该弄清它,并且还期望解

它。假如学生对问题没弄清或不感兴趣,
这其实不是他的过错,问题应该优选,

选的题目不太难但也不要太简单,应顺乎自但是且兴趣盎然,并且有时在叙

方式上也应该自但是风趣。
第一,一定认识问题的文字表达。
教师在某种程度上可以检查这一点,
他可
以要修业生重新表达这题目,而学生应能流利地重新表达这个问题。学生还

当可以指出问题的主要部分,即未知数,已知数据,条件。所以老师发问时,

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要错过这样的问题:未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?
学生应该认真地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。假如问
题和某一图形相关,那末他应该画张图并在上边标出未知数与已知数据。
假如对
这些对象需要赐予名称,他应该引入适合的符号。适合地注意选择符号,他

会被迫考虑这些一定选择符号的对象。在此预备阶段中,假设我们其实不希望

一个明确的回答,而只但是想有一个暂时性的回答或一个猜想,那么别的还

一个问题可能是实用的,即:满足条件能否可能呢?
(在本书第二部分中,把“弄清问题”分成两个阶段:“熟悉问题”和“深人理解问题”)。
8、例子
让我们说明上节中的某几点内容。我们选以下简单问题:已知长方体的长、宽、高,求其对角线长度。
为了对此问题作有利的谈论,学生一定熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。他们对峙体几何可能只有极少的系统知识。教师这时可以依赖学生对空间关系的朴素知识。
教师可以经过使问题详尽化而使之风趣。如教室就是个长方体,其尺寸可
以丈量,也可以预计,要修业生不作丈量,间接地求出教室的对角线长度。教师
指出教室的长、宽、高,用手势说明什么是对角线,经过不断地和教室相联系而使他画在黑板上的图变得更加形象。
以下是老师与学生间的对话:
“未知数是什么?”“长方体
对角线的长度。”“已知数是
什么?”“长方体的长、宽、
高。”
“引入适合的符号,用哪个字母表示未知数?”
“x”
“长、宽、高应选哪些字母?”“a,
b,c”“联系a,b,c与x的条件是
什么?”
“x是长方体的对角线,长方体的长、宽、高为a,b,c”“这是个合理的问题吗?我意思是说,条件能否充分,足以确定未知数吗?”“是的,是充分的。假如我们知道a,b,c,我们就知道平行六面体。如
果平行六面体被确定,则对角线也被确定了。”
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当我们知道,或最少大体上知道,为了求解未知数,一定完成哪些计算、
作哪些图的时候,我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划,其过
可能是漫长而曲折的。事实上,求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题
划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。也许,在明显失败的试试和一度犹
不决以后,突然闪出了一个“好念想”。老师为学生所能做的最大的好事是
过比较自然的帮助,促使他自己想出一个好念想。我们下边就要谈论的问题
建议正是要引发这样一种好念想。
为了弄清学生的心理活动,老师应该回忆他自己的经验,回顾他自己在解
题时遇到的困难与获得成功的经验。







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我们自然知道,假如我们对该论题知识困穷,
是不简单产生好念想的。
假如
我们完好没有知识,则根本不可以能产生好念想。一个好念想的基础是过去的

验和已有的知识。不过靠记忆不足以产生好念想。但若不重新采集一些相关

实,则也不会出现好念想。只有资料还不足以盖房子,但是不采集必需的材

也盖不了房子。解决数学问题所必需的资料是我们早已获取的数学知识的某

相关内容,如从前解决的问题,从前证明过的定理。所以,以以下问题开始

作常常是适合的:你知道一个与此相关的问题吗
?
困难就在于:平时有相当多的问题与我们此刻手上的问题相关,即,与它有某种共同之处。我们如何挑出其中一个或几个的确实用的问题呢?我们建议把力量放在主要的共同之处上:看着未知数!试想起一个拥有相同或相似未知数的熟悉的问题来。
假如我们成功地回忆起一个与当前问题亲近相关的早已解决的问题,那是
很好运的。我们应该争取这样的运气;经过研究我们是可以获取它的。这里
有个问题与你的问题相关,且早已解决,你能利用它吗?
上述问题,如能很好地理解和认真地加以考虑,常常有助于激倡导一连串

确的想法;但它们其实不总是实用的,它们并不是魔法。假如这些问题不可以,我

一定找寻某些其余的适合接触点,并且研究问题的各个方面;我们不得不变
化、
变换、更正该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变
问题
的特地方法,比方广泛化、特别化、应用类比、舍去一部分条件等等;具
体细
节是重要的,但我们此刻不可以深入谈论。改变问题可能以致提出某种适合
的辅
助问题:假如你不可以解决所提出的问题,则应第一试试去解决某些与此有
关的
问题。
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试试去应用各样已知的问题或定理,考虑各样更正,对各样协助问题进行试
验,我们可能走开本来的问题太远,甚至最后有失去它的危险。但是还有一个很好的问题可以把我们带回原处:你能否利用了所有的已知数据?你能否利用了整个条件?
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