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波利亚解题——案例分析.doc

上传人:泰山小桥流水 2022/9/29 文件大小:211 KB

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波利亚解题——案例分析.doc

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波利亚解题——事例解析
波利亚解题——事例解析
波利亚解题——事例解析
例题:
给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正四棱台的体积V.(学生
已学过棱柱、棱锥的体积)
波利亚解题:
一、弄清问题(理解题目的未知和已知条件)
本题的已知条件有哪些?本题的未知是什么?
①正四棱台的高h;
②上底边长

a;

?

正四棱台的体积

V.
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③下底边长

b
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二、拟定计划(找到已知条件和未知之间的联系)
1)如何才能求得V?
因为我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱
台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”,
知道了相应两棱锥的体积V1和V2,我们就能求出棱台的体积VV1V2。①
这样我们就引入两个新的符号V1和V2,同时也找到了V、V1、V2三个量之间的联系,这就把
求V转变成求V1和V2.
2)如何才能求得V1和V2?
据棱锥的体积公式(V1Sh),底面积可由已知条件直接求得,要点是如何求出两个棱锥的
3
x,大棱锥的高也就求出,为xh.
高。而且,一旦求出小棱锥的高
我们再次引入了一个新符号
x,
于是依据棱锥的体积公式就有
V2
1a2x,V1
1b2(xh),
3
3
这样,问题就由求V1和V2转变成了求x。
3)如何才能求得x?
为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来,
问题的基本经验,进行“平面化”(以以下图蓝
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色线条所示)的平面去截两个棱锥,在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系
起来(转变成平面几何问题),
由三角形相似的性质得:
ax

bxh
这就将一个几何问题最后转变成代数方程的求解.
解上述方程,即可由a、b、h表示x,
至此,我们已在V与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联系网,解题思路所有沟通.
三、实现计划(利用找到的联系进行解题)
作辅助线,由相似三角形的性质可得,
a
x
,
b
xh
解得x
ah。
a
因此两椎体的体积分别为有:
V2
1a2x
1a2
ah
a3h
,
3
3
ba
3b
a
V1
1b2(xh)
1b2
ah
h
b3h
,
3
3
ba
3b
a
因此棱台的体积:
VV1V2
b3h
a3h
b3
a3ha2
abb2h。③
3b
a
3ba
3b
a
3
四、回顾
(1)正面检验每一步,推理是有效的,演算是正确的。
再作特别性检验,令a0,由③可得正四棱锥体的体积公式;
令ab,由③可得正四棱柱体的体积公式。
这既反响了新知识与原有知识的相容性,又显示出棱台体积公式的一般性;这既沟通了三类
几何体极限状态间的知识联系,又可增进三个体积公式的联系记忆。
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(2)回顾这个解题过程可以看到,解题第一要弄清题意,从中捕获实用的信息(以以下图,有棱台、a、b、h、V共5条信息),同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想:棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反响几何结构的运算、调动求解立体
几何问题的经验累积等不下6条信息),,起调控作用的要点是如何去构思出一个成功的计划(包含解题策略)。由这一事例,每一个解题者还可以依据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何拟定计划的广泛建议或模式。
(3)在解题方法上,这个事例是解析法的一次成功应用,从结论出发由后往前找建立的充分条件。
①为了求V,我们只需求V1、V2(由棱台体积到棱锥体积的转变——由未知到已知,化归);
②为了求V1、V2,我们只需求x(由体积计算到线段计算的转变——由复杂到简单,降维);
③为了求x,我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转变——数形结合);
④最后,解方程求x,解题的思路就畅达了,在当初各自孤立而空旷的画面上,形成了一个联接未知与已知间的不中断网络,书写只但是是循相反次序将网络图作一表达。这个过程显示了解析与综合的关系,“解析自然先行,综合后继;解析是创立,综合是执行;解析是拟定一个计划,综合是执行这个计划”。
(4)在思想策略上,这个事例是“三层次解决”的一次成功应用。
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第一是一般性解决(策略水平上的解决),把V转变成V1、V2的求解(

V

V1

V2),就明确了
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解题的整体方向;
其次是功能性解决(方法水平的解决),发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能;
最后是特别性解决(技术水平的解决),比方依据棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、详尽演算体积公式等,是对推理步骤和运算细节作实质完成。
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(5)在心理体系上,这个事例表现出“激活——扩散”的基本过程。
第一在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下,激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式;
而后,沿着体积计算的接线向外扩散,挨次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识,“扩散——激活”的看法,正是数学证明思想中心理过程的一种解说。
(6)在立体几何学科方法上,这是“组合与分解”的一次成功应用。
第一把棱台增补(组合)为棱锥,而后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面,这类做法在
求棱锥体积时以前用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥),它又一次向我们展现“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍,而“平面化”的思虑则是沟通立体几何与平面几
何联系的一座重要桥梁。这些都可以用于求解其余立体几何问题,而且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其余学科。
(7)“你能否用其余方法导出这个结果?”在信念上我们应该永久而坚定地做出一定的回答,操作上未实现不过能力问题或临时现象。
(8)“你能不可以把这一结果或方法用于其余问题?”
能,最少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是相同的)。
注意到:a2S1,b2S2,abS1S2,
可一般化猜想棱台的体积公式为:VS1S1S2S2h
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附录——波利亚解题程序表
弄清问题
未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件能否可能?要确立未知,条件能否充
分?也许它能否不充分?也许是剩余的?也许是矛盾的?
第一、你必
须弄清问
画张图,引入合适的符号.
?
拟定计划
第二、找出
你以前见过它吗?你能否见过相同的问题而形式稍有不一样?
已知数与
你能否知道与此有关的问题?你能否知道一个可能用得上的定理?
未知数之
间的联
看着未知数,试想出一个拥有相同未知数或相似未知数的熟****的问题.

这里有一个与你此刻的问题有关,且早已解决的问题.
不出直接
你能不可以利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,
你能否应
的联系,你
该引入某些辅助元素?
可能不得
不考虑辅
你能不可以重新表达这个问题?你能不可以用不一样的方法重新表达它?
助问题.
回到定义去.
假如你不可以解决所提出的问题,

你应该最
着手的有关问题?一个更广泛的问题?一个更特别的问题?一个类比的问题?你能否解决这
终得出一
个问题的一部分?
个求解的
度?它会如何变化?你能不可以从已知数据导出某些实用的东西?你能不可以想出合适于确立未
计划
知数的其余数据?假如需要的话,你能不可以改变未知数或数据,也许两者都改变,以使新未知
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数和新数据相互更凑近?
你能否利用了所有的已知数据?你能否利用了整个条件?你能否考虑了包含在问题中的必需的看法?
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实现计划
第三、实行
你的计划
回顾
第四、验算

实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
你能否检验这个论证?你能否用其余方法导出这个结果?你能不可以一下子看出它来?
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所获取的
你能不可以把这一结果或方法用于其余的问题?
解.
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