波利亚解题过程.docx

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波利亚解题“如何解题”思路分析例题
例题:
如图11所示,AB是⊙O的直径,AD是弦,∠DBC=∠A.
求证:BC与⊙O相切.
若OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4,求AD的长.
(一)经过审题,弄清问题,培育学生分析已知条件的****惯
审题过程就是要审清题目数目关系,知道该道题讲的是什么,并能找出已知条件,使题目的条件、问题及其关系在学生脑筋中建立起完好的印象,为正确分析数目关系和解答问题创立优异的前提条件。对题中揭穿数目关系的要点句要屡次斟酌,理解它的真实含义,对题中揭穿数目关系的要点句要屡次斟酌,理解它的真实含义。
讲解第一步、弄清问题:
1.(1)问中求证的是什么(2)中未知数是什么你能复述它吗
答:(1)中求证BC与⊙O相切,(2)中要求我们求AD的长。

答:已知:AB是⊙O的直径(如上图11),AD是弦,∠DBC=∠A.
则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角,等于90°,那么∠A+∠ABD=90°。
(2)中已知OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4

答:AB是⊙O的直径(如上图11),AD是弦,∠DBC=∠A
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(1)能否可能建立能否求出AD的长
答:满足上述条件(1)能建立。但不可以求出AD的长,假如要求出AD的长那么我们还有
加上一下条件即可:
OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4
,条件能否充分
答:要确立未知数,如上所述是充分的。
,分别有哪些有什么含义
答:一般状况下做这些几何种类的题目为了方便书写和理解我们都会合适引入符号,但这题相比较较简单易懂,就不需要引入了,假如在好多线,很复杂的图形中就一定得引入。,你能否把它们写下来
答:能。AB是⊙O的直径AD是弦,∠DBC=∠A
OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4
(1)已知:AB是⊙O的直径,AD是弦,∠DBC=∠A.
求证:BC与⊙O相切.
(2)已知:AB是⊙O的直径,AD是弦,∠DBC=∠⊙O相切,OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4
求解:AD的长
成效:经过以上的审题和分析已知条件,使学生弄清了题意并数学化,同时大脑中有了一个平面模型,更清楚地认识题目。
(二)经过研究解题方法,培育学生拟订解题计划的****惯
在波利亚的解题表中,拟订计划是要点环节,“拟订计划”的过程是在“过去的经验和已
有的知识”基础上,研究解题思路的发现过程。“拟订计划”的过程其实就是不停变换问题的
过程,把复杂的问题向简单的问题转变,陌生的问题向熟****的问题转变,最后把待解决的问题
化归为已解决的或易解决的问题,这样在研究解题思路的过程中自可是然地培育了学生拟订解
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题计划的****惯。学生有了计划,就不会拉下已知条件,就会考虑解题的优先序次,有清楚的目
标,就可以经过计划的实行来实现解题的目标。
讲解第二步、拟订计划:
你能否见过与此相关的问题你能否知道可能用得上的定理
答:见过。如圆的直径与圆外切线订交,则它们两条线垂直。在圆内直径所对的圆周角为90
度。
看着未知数,试想出一个拥有同样未知数或相似未知数的熟****的问题。
答:能否证明三角形ABD与三角形OBE相似
你能不可以重新表达这个问题你能不可以用不一样的方法重新表达它。
答:能否证明OB/AB=BE/BD=OE/AD
你能否解决这个问题的一部分不过保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知数能确立到什么程度它会如何变化
(3)答:可以。假如(1)中不过保持AB是⊙O的直径,AD是弦,而舍去∠DBC=∠A就只好证明∠D=90°,∠A+∠ABD=90°,但不可以证明∠ABC=90°,所以也不可以证明BC为⊙O的切线,即BC与⊙O相切。假如(2)中舍去了条件“OC是BD的垂直均分线,垂足为E,BD=6,CE=4”的此中的某一个部分则,AD根本就没有方法求出来。
你能否利用了全部的已知数据能否利用了整个条件你能否考虑了包括在问题中的全部必需的
看法
答:利用了全部的已知数据同时也利用了整个条件。同时,此中包括了三角形的内角和为180
度,在圆内直径所对的圆周角为90度,勾股定理,圆的相切线与圆的直径垂直;三角形相似
对应的边的比率相等,等于一个定值等看法。
解题计划:依据已知条件第一在圆内搞清角与角之间的关系,再证明∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC,
从而证明结论BC与⊙O相切。
(2)中,搞清给出长度的这几条边分别在哪个三角形中,这些三角形分别是什么关系求解的
这两个三角形相似,那么我们可以依据相似三角形的性质求得AD的长度。
(三)经过实现解题计划,培育学生将计划付诸实现的****惯
想出一个计划,产生一个求解的念想是不简单的,要成功,需要有好多条件,如已有的知识、优异
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的思想****惯等。我们要把来之不易的好计划好念想付诸实现,在解题计划的实现过程中我们一定充分细节并耐心地检查每一个细节,直到每一点都完好清楚,没有任何可能隐蔽错误的含糊之处为止,在这个过程中教师要注意培育学生的耐心和恒心,要不时提示学生自己解题的计划是什么依据解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言特别重要,因他们的要点是踏扎实实的做每一件事情,将计划执行究竟。讲解第三步、实现计划:
证明:(1)∵AB是⊙O的直径,AD是弦,
∴∠D=90°(∠D是⊙O的圆周角),
故∠A+∠ABD=90°(三角形内角和为180°),
又∵∠DBC=∠AAB是⊙O的直径
∴∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC
故BC为⊙O的切线即BC与⊙O相切
解:(2)由(1)证明知道BC与⊙O相切
OC是BD的垂直均分线,垂足为EBD=6,CE=4
∴∠BEC=90°=∠DBE=BD/2=4
又∵∠DBC=∠A(∠A和∠D在同一个直角三角形内,∠DBC和∠BEC在同一个三角形内)
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∴△ABD∽△BEC(有两个角相等)
BE/AD=CE/BD=4/6
故AD=9/2
所以AD得长为9/2
检查:(1)若BC与⊙O相切,则∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC,∠D=90°,∠A+∠ABD=90°所以获取∠DBC=∠A,故正确。
(2)中若AD=9/2为已知条件,求CE的长,则依据上题中证明三角形相似,在依据相似三角形对应边的比相等求出CE=4,与上题同样,即说明结果正确的。
(三)经过解题回顾,培育学生主动回顾反思的****惯
即即是相当好的学生,当他获取问题的解答,而且很干净利落地写下论证后,就会合上书
本,找点其余事来干干。这样做,他们就错过认识题的一个重要而有教益的方面。
培育学生对自己的解题过程进行回顾反思的****惯,提升学生的思想自我评介水平,这是提
高学****效率,培育数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路,养成对自己的解题过程进行回顾反思的****惯是拥有正确的解题思想的表现。假如在获取正确答案后就此停止,不对解题过程进行回顾和反思,那么解题活动就有可能逗留在经验水平上,事半功倍;假如在每一次解题今后都以对自己的思路作自我议论,商讨成功的经验或失败的教训,那么学生的思想就会在更高的层次长进行再概括,并促使学生的思想进入理性认识阶段,事半功倍,同时可能会产生创新的好念想。所以,为了提升数学学****效率,一定增强正确的解题思想教育,使学生养成回顾反思的****惯。
讲解第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到,解题第一要弄清题意,从中捕获实用的信息,同时又要及时提取记忆
中的相关知识,来拟订出一个成功的计划。此题我们在思想策略上是二层次解决问题,第一根
据AB是⊙O的直径,AD是弦,∠DBC=∠A的条件找到∠ABC=90°,而后依据圆的切线定理及三角形的内角和为180°得证。(2)中主要利用三角形相似的定理,对应角相等、对应边成比率的特色来求得答案,方法简单易懂。
还有其余其余方法导出这个结果吗
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答:有。证明两个三角形相似,而后证明∠ABC=90°,再证明结论。也许我们直接用切线定理
来判断,即向来线若与一圆有交点,且连接交点与圆心的直线与该直线垂直,那么这条直线就
是圆的切线。
这类方法你还可以用于哪些题
答:以上题目的方法还可以用于求三角形的角度是多少,用于证明两个三角形全等、相似的问
题等。
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