文档介绍：该【线性代数总结汇总+经典例题 】是由【艾米】上传分享，文档一共【26】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【线性代数总结汇总+经典例题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。线性代数总结汇总+经典例题
线性代数知识点总结
1行列式
(一)行列式概念和性质
1、逆序数:所有的逆序的总数
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质:(用于化简行列式)
(1)行列互换(转置),行列式的值不变
(2)两行(列)互换,行列式变号
(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式
(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
(一)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)
(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)T=AT+BT
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|T=|A|
(5)(AT)T=A
(二)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质:(5条)
(1)(kA)-1=1/k·A-1(k≠0)
(2)(AB)-1=B-1·A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(5)(A-1)-1=A
5、逆的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解
(2)A为数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A-1)
(三)矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c
(3)一行(列)乘k加到另一行(列)
7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);
Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)
Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)
★(四)矩阵的秩
9、秩的定义:非零子式的最高阶数
注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O
(2)r(An×n)=n(满秩)←→|A|≠0←→A可逆;
r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;
(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质:(7条)
(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)
(2)r(A±B)≤r(A)±(B)
(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}
(4)r(kA)=r(A)(k≠0)
(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)
(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)
(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;
(2)A为数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数
(五)伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:(8条)
(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
(2)(kA)*=kn-1A*
(3)(AB)*=B*A*
(4)|A*|=|A|n-1
(5)(AT)*=(A*)T
(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1
(7)(A*)*=|A|n-2·A
★(8)r(A*)=n(r(A)=n);
r(A*)=1(r(A)=n-1);
r(A*)=0(r(A)<n-1)
(六)分块矩阵
13、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆:
3向量
(一)向量的概念及运算
1、向量的内积:(α,β)=αTβ=βTα
2、长度定义:||α||=
3、正交定义:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0
4、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件:
非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。
★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件:(了解即可)
若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。
7、线性表示的求法:(大题第二步)
设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)
行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1)α线性相关←→α=0
(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组α1,α2,…,αs线性相关
(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;
★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于个数
特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关
(1)←→r(α1,α2,…,αn)<n
(2)←→|α1,α2,…,αn|=0
(3)←→(α1,α2,…,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2)部分相关,则整体相关
(3)高维相关,则低维相关
(4)以少表多,多必相关
★推论:n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1,α2,…,αs线性无关
(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
(3)←→r(α1,α2,…,αs)=s
特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关
←→r(α1,α2,…,αn)=n←→|α1,α2,…,αn|≠0←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关
(2)低维无关,高维无关
(3)正交的非零向量组线性无关
(4)不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法
★(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。
(2)若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。
←→r(β1,β2,β3)=3←→r(C)=3←→|C|≠0
(四)极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比:矩阵的秩:非零子式的最高阶数
★注:向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
(1)α1,α2,…,αs为抽象的:定义法
(2)α1,α2,…,αs为数字的:
(α1,α2,…,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
(五)向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:
若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Cn×n
其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)
18、坐标变换公式:
向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)
(六)Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1,α2,α3线性无关
(1)正交化
令β1=α1
(2)单位化
4线性方程组
(一)方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式:Ax=b;
(3)向量形式:A=(α1,α2,…,αn)
2、解的定义:
若η=(c1,c2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)
(二)解的判定与性质
3、齐次方程组:
(1)只有零解←→r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)
(2)有非零解←→r(A)<n
4、非齐次方程组:
(1)无解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1
(2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n
(3)无穷多解←→r(A)=r(A|b)<n
5、解的性质:
(1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
(2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解