文档介绍：第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立
弹塑性力学的任务:研究各种具体几何尺寸的弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分布与变形(或位移)规律。
与材料力学一样,弹塑性力学所求解的大多数问题是超静定问题,因此其基础理论的建立来自三个方面的客观规律:平衡方程;几何方程;本构方程
1. 平衡(或运动方程)
若等式右式不等零,即表示物体内质点处于运动状态,则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号内的惯性力项。
方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力状态之间在平衡(或运动)时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
(1)几何方程
此式表明在小变形条件下,物体内一点附近的变形情况和该点的应变状态之间的关系。
(2)应变协调方程(变形连续必条件)(变形相容条件)
可缩写为:
上述方程是六个应变分量保证三个位移分量为单值连续函数(保持连续)的条件。
3、本构方程(物性方程)
(1)在弹性变形阶段,且屈服函数则有
如用应变表示应力,则有
为了与塑性变形本构方程对比,也可将本构方程表示为
(2)在弹塑性变形阶段,屈服函数则有
A 增量理论(流动理论)
(i) Prandtl - reuss (v<1/2)
a 理想弹塑性材料
b 等向强化材料
(ii)Levy-Mises(v=1/2)
(a)理想刚塑性材料
(b)等向强化材料
B全量理论(形变理论)
强化材料V<1/2 , 则
总之,当物体发生变形时,不论弹性变形或是塑性变形问题,共有三个平衡微分方程,主个几何方程,六个本构方程,共计15个独立方程(统称泛定方程)而问题有
共计15个基本未知函数。因此,在给定边界条件时,问题是可以求解的。弹塑性力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。
4. 边界条件:
(1)位移边界条件:对于给定的表面Su,其上沿x,y,z方向给定位移为,则
(2)应力边界条件:给定表面上的面力为
以上这些方程的解答是唯一的
弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解
4-2 弹塑性力学问题的提法
第二类边值问题:给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况,求在平衡状态下的应力场和物体内部了位移场,即所谓边界位移已知的问题
第一类边值问题:给定物体的体力和面力,求在平衡状态下的应力场和位移场,即所谓边界应力已知的问题
第三类边值问题:在物体表面上,一部分给定面力,其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移的关系)的条件下求解上述问题,即所谓混合边值问题。
弹塑性力学问题的提法必须使定解问题是适定的,即:有解解是唯一的解是稳定的。
根据具体问题边界条件类型的不同,常把边值问题分为三类
在求解弹塑性力学边值问题时,我们还应注意到以下几个问题:
(1)边界条件的个数必须给的不多不少,才能得到正确的解答。
(2)对于塑性力学问题在给定因载路径时,可以对每时每刻求出增量,然后用累计(积分)的方法得出应力和应变的分布规律。对于加载过程的弹塑性问题可作为非线性弹性力学问题来处理,如果出现卸载问题,卸载时必须根据弹性变形规律来处理。
(3)在弹性变形状态下,物体有的部分进入的塑性状态,有的部分还处理弹性状态,也就是说,首先要找到弹塑性区域的分界面,然后在弹性区域应用弹性本构议程,在塑性区域应用塑性本构方程。在寻求弹性交界面时可应用这两种区域间的连续条件和间断性条件。
(4)当理想弹性材料的物体处于弹塑性状态时,泛定方程中多了一个的未知参数,不过也增加了屈服条件因为,只有在应力满足屈服条件时才不等于零。此时,可引用屈服条件求解。