文档介绍：该【基于自适应Kalman滤波的平面阵列电容成像 】是由【贾赦】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【基于自适应Kalman滤波的平面阵列电容成像 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
 
基于自适应Kalman滤波的平面阵列电容成像*
张玉燕1)2)    殷东哲1)    温银堂1)2)†    罗小元1)
1) (燕山大学电气工程学院, 秦皇岛 066004)
2) (燕山大学, 测试计量技术及仪器河北省重点实验室, 秦皇岛 066004)
(2021 年3 月8日收到; 2021 年4 月12日收到修改稿)
针对平面阵列电极边缘电场和病态特性严重影响电容图像重建质量的问题, 提出了一种改进的自适应
Kalman滤波图像重建算法来同时减小电容及介电常数矩阵的噪声, 在构建引入噪声的平面阵列电容成像状
态模型的基础上, 利用极大似然准则来对介电常数矩阵噪声方差阵进行在线估计及实时修正, 并且通过对系
统误差协方差矩阵进行动态加权的方法来对此算法的收敛速度进行优化. 通过一种复合材料结构件进行缺
陷检测实验, 结果表明与LBP, TR正则化及Kalman滤波算法相比, 自适应Kalman滤波算法图像误差最高
可降低约20%, , 收敛速度提升约15%, 说明自适应Kalman滤波算法对提升重建图像
质量的有效性. 此研究对提高平面阵列电容成像的量化精度有着重要意义.
关键词:平面阵列电极, 电容图像重建, 自适应Kalman滤波, 复合材料, 极大似然准则
PACS:, , ,  DOI:.20210442
 
会产生一些气泡、孔洞、夹杂等缺陷. 这些细小的
1   引 言缺陷可能会造成很严重的安全隐患. 而目前还没有
成熟的陶瓷基复合材料结构内部粘接层可视化无
平面阵列电容成像(planar array electrical损检测技术, 因此研究平面电容成像传感技术具有
capacitance imaging)技术是近年来由电容层析成非常重要的意义和实际应用价值.
像(electrical capacitance tomography, ECT)技目前对平面阵列电容成像系统的研究主要包
术发展而来的一种新型无损检测技术[1], 与传统含: 电容传感器的设计[4,5]、3D成像[6,7]及图像重建
ECT不同, 平面阵列电极传感器是将所有电极排算法的研究. 传统的ECT图像重建算法已经发展
列在同一平面内, 利用电极边缘效应对被测介质敏得非常成熟, 如: 线性反投影(LBP)[8]、Tikhonov
感, 通过测量电容获得被测空间敏感场介电常数的正则化[9]、正交匹配跟踪算法[10]等. 虽然传统的
分布信息, , 但由于
平面阵列电容成像技术具有灵敏度高、穿透性平面阵列电容成像系统“软场”性质更明显, 阵列电
强、不受被测物几何空间限制等特点[2], 可以对被极数目和可用数据更少, 因此不适定问题更为严
测物进行单面检测[3]. 因此, 该可视化成像技术可重[11], 因此高精度的平面阵列电容成像算法对于
适用于陶瓷基复合材料粘接结构的内部粘接层缺实现量化检测至关重要. 近几年针对平面阵列电容
陷检测. 陶瓷基复合材料在航空航天领域、汽车工成像算法研究方面, 在文献[12]中, 作者用模糊聚
业和机械制造领域等具有非常广泛的应用需求, 但类算法(FCM)直接对电容数据进行聚类处理, 降
由于粘接工艺的原因, 陶瓷基复合材料的粘接胶层低了电容数据噪声对图像质量的影响; 在文献[13]
 
*  国家自然科学基金(批准号: 61573302)和河北省自然科学基金(批准号: E2017203240)资助的课题.
†  通信作者. E-mail: ******@
© 2021 中国物理学会  Chinese Physical Society
118102-1
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
 
中, 
成像中, 通过迭代的方法, 对灰度值和误差协方差绝缘外壳
4812
矩阵的先验信息不断进行校正, 从而得到最优的灰
度值矩阵. 在上述两种算法中, 作者均未考虑系统3711
测量电极
噪声, 但由于平面阵列电极敏感场的“软场”效应,170mm2610
即敏感场的分布是不均匀的, 介电常数矩阵会存在极间屏蔽
159
较大噪声, 直接导致图像的伪影非常严重, 影响对
170mm
缺陷位置及个数的判断.
因此, 为了提高平面阵列电容成像的量化精图 2    平面阵列电容传感器
度, 本文考虑降低平面阵列电极软场性质和不适定 Fig. 2. Planar array capacitance sensor.
问题对图像质量的影响, 提出了一种改进的自适
平面阵列电容成像方法基于电容的敏感机理,
应Kalman滤波图像重建算法来同时降低电容数据
根据麦克斯韦电磁场理论, 在传感器敏感场内的任
及介电常数矩阵的噪声, 并且通过对误差协方差矩
一点满 足(1)式:
阵进行动态加权的方法来对此算法的收敛速度进
行优化, 以提高重建图像的精度, 并用模拟复合材D=εE,
料胶层缺陷检测实验验证此算法的有效性. 本工作B=ζH,(1)
为提升平面阵列电容成像传感技术的量化检测精Je=vE,
度提供了强有力的技术依据, 进而推动其在无损检
式中, D为电位移, ε为介电常数, E为电场强度,
测技术中的可靠应用 .
B为磁感应强度, ζ为磁导率, H为磁场强度, Je为
电流密度, v为电导率. 根据Dirichlet边界条件,
2   平面阵列电容成像原理
可以推出平面阵列电容传感器电场微分方程 :
2
平面阵列电容成像系统由电容传感器单元、数ε(x,y)∇ϕ(x,y)+∇ε(x,y)∇ϕ(x,y)=0,(2)
据采集单元、图像重建单元三部分组成(见图1).其中, ε(x,y)表示介电常数, ϕ(x,y)表示场域内电
电容阵列传感器单元将被测物场介电常数信息转
势分布 . 介电常数分布与电容数据的关系为
化为电容的变化值, 数据采集系统采集电容变化值∫
Q−1∇
并输入到计算机, 利用图像重建算法在计算机上重C==ε(x,y)φ(x,y)dΓ,(3)
VVΓ
建出被测目标的图像[14].
其中, Г表示电极表面, Q代表电荷, V代表两个
 
电极
被测物电极之间的电位差. 对(3)式线性化、离散化和归
电容数图像重建中一化后 , 可以简化为下式:
据采集
模块C=SG,(4)
(4)式中, C为归一化后的66 × 1的电容值向量,
传感器单元数据采集单元图像重建单元
G为1024 × 1的介电常数矢量, 可看作直接进行
图 1    平面阵列电容成像系统
图像重建的灰度值; S为66 × 1024的敏感场矩
Fig. 1. Planar array capacitance imaging system.
 
阵, 图像重建问题就是在灵敏度分布矩阵和测量电
与传统的ECT不同, 本文所采用平面阵列电
容数据已知时, 求解(4)式中的G; (4)式中的S
容传感器是排列在一个3 × 4的平面阵列中, 共
反映了介电常数分布不均所导致的电容数据变化
12个电极; 总尺寸为170 mm × 170 mm, 每个电
率. 本文采用有限元的思想来划分电势分布, 从而
 mm ×  mm, 如图2所示. 实验
过程中首先激励1号电极, 其余电极作虚地处理,求得敏感场: 首先将被测场划分为8层, 每层32 ×
依次测量1—n之间的电容值, 然后激励2号电极,32个单元, 通过Laplace变换、功率守恒公式及
其余电极依然进行虚地处理, 以此类推, 一共可以极板表面电荷的分布规律, 可得到i-j电极对在
测得66个电容值.( x, y)处的灵敏度公式:
118102-2
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
∫
−Ei(x,y)Ej(x,y)位矩阵, 所以平面阵列电容成像Kalman滤波模
Si,j(x,y)=dxdy,(5)
p(x,y)ViVj
型为 
其中, Vi和Vj为i和j号电极施加的电压激励.G=ΦGk/k−1,
k
Ei(x,y)与Ej(x,y)分别表示对i, j号电极施加电压T
Pk=ΦPk/k−1Φ+Qk,
信号时(x, y)处的电场强度; p(x,y)表示所求解的
TT−1
Kk=Pk/k−1S[SPk/k−1S+R],(8)
敏感区域; 然而敏感场的分布是不均匀的, 并受介
G=G−+K[C−SG−],
质分布的影响, 即“软场”性质, 减弱“软场”性质带k/kk/k1kkk/k1
=[I−KkS]Pk/k−1,
, C(m =
其次另一大难点是独立测量的数据(8)式中, Gk为通过迭代在k时刻得到的灰度值矩
66)(n = 1024), 
要比重建数据的像素值少很多即阵, 即状态估计值; Pk为在k时刻的协方差矩阵,
m≪n, (4)
所以式的逆问题是典型的不适定的、Kk为k时刻的卡尔曼增益, 整个算法分为预测和
, . 
病态的求解非常困难介电常数矩阵噪声及逆问校正两大部分, 预测过程是对Gk以及Pk进行先
题的病态性会直接导致图像上伪影严重, 甚至会影验估计; 校正过程是通过已知预测的先验信息基础
响判断缺陷的个数, 因此若要提高平面阵列电容成上, 对状态矩阵和误差斜方差矩阵进行修正, 并提
像重建图像的质量, 就必须降低“软场”性质及不适供反馈, 不断地迭代, 从而得到最优的灰度值状态
定问题带来的影响 .
矩 阵[16].
3   
重建算法
 在上述传统卡尔曼滤波算法中, 为了计算更加
, 只考虑了测量噪声, 默认该模型中的系统噪
Kalman滤波算法是一种最优化自回归处理算声是0, 没有考虑平面阵列电极敏感场“软场”性质
法, 目前在控制、通信、导航等领域都有着非常广带来的影响, 因此会影响成像质量. 本文为解决这
泛的应用. 该算法引入状态空间的概念, 充分利用个问题, 重新考虑系统噪声对灰度值矩阵带来的偏
系统的变量初始值、系统噪声等信息, 通过对预测差, 用极大似然准则[17]来估计系统噪声的协方差
值和测量值不断的迭代, 计算目标的最优估计值,阵, 并利用新息序列及新息的协方差矩阵对系统噪
[18], 
从而得到所需状态向量的最佳拟合值[15].声协方差矩阵进行实时修正依然默认测量电
采用平面阵列电极进行实验时, 由于基于边缘容噪声序列Vk已知, 其方差阵用R表示, 系统噪
电场工作, 极间电场线较弱, 且易受相互干扰, 测声序列wk未知, 其噪声方差阵用极大似然法进行
量出的电容变化量数据往往带有很强噪声, 对图像估计, 采用Qk表示. 整个算法过程如下.
质量有较大的影响. 因此需要研究一种既能用于解 首先建立新的状态空间表达式:
G=G−+w,(9)
决平面阵列电容成像的不适定问题, 又能抑制噪声 kk1k
的稳定成像算法. 因此Kalman滤波算法能够利用Ck=SGk+Vk,(10)
迭代优化解决上述问题. Kalman滤波算法中首先系统的新息序列和新息序列的协方差矩阵分别定
建立该问题的状态空间公式 :
义为 
G=ΦG−,(6)
 kk1
vk=zk−zˆk/k,(11)
 
Ck=SGk+Vk.(7)T
Pvk=SPk/k−1S+R,(12)
假设电极的敏感场分布是均匀的, 只考虑测量
其中, vk为新息序列, zk为真实测量值, zˆk/k为测
, 0, 
时外界因素产生的噪声即系统噪声为测量噪˜
量预测值. 若定义Gk为真实灰度值与预测灰度值
声为Vk, 其方差阵为R. Gk为状态估计量, 也就是
之差 , 则由(9)式和(10)式可得:
重建图像的灰度值, Ck表示在k时刻测量后得到
−˜
的归一化后的电容值; S为敏感场矩阵; F表示一vk=zkzˆk/k=SGk+Vk.(13)
个系统矩阵, 其描述了状态向量的演化, 默认为单灰度值估计误差协方差的一步预测矩阵为 
118102-3
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
T
Pk/k=Φk/kPk−1Φk/k+Qk.(14)并且在一定程度上抑制滤波发散, 加快收敛速度.
实现方法就是对协方差矩阵Pk/k进行动态加权[22],
定义α=(Rk,Qk)为存在噪声的方差阵, 根据
其基本思想就是随着k时刻Pk/k的不同, 对Pk/k
极大似然估计准则, 通过新息方差对Qk进行实时
提供不同的加权系数, 实现可变加权, 提高卡尔曼
的调 整[19], 则目标函数为
 . λ:
∑k∑k滤波增益的模系数k如下
−
J(α)=p+vp1vT,k
viivii(15)∑
i
i=1i=1λk=a(0<a<1,k=1,2,···).(23)
i=0
由 J(α)/∂α可得:
{{}}λk1, k
∑k系数逐渐增大并且大于等于当较小
−1∂pviT−1∂pvi−1
trp−vppvi=0.(16)时, a取尽量接近1的值, 当k较大时, a取接近
vi∂αivi∂αvi
i=10的值. 这样就可以加强对新测量的电容值和灰度
继续分别 对(12)式和(14)式中预测参数α求偏导:值矩阵的修正.
∂P
∂Pvkk/kT∂Rk在k=0时刻, 采用正则化算法得到灰度值G0
=SS+,
∂αk∂αk∂αk作为AKF算法迭代的初始值, 根据以往经验, 以
(17)
∂Pk/k−1∂Rk−1∂Qk, . 
=ΦΦT+.及实验验证正则化因子为时效果最好结合
∂αk∂αk∂αk(8)式可得动态加权自适应Kalman滤波的平面阵
P
当滤波器稳定收敛后, 理论上k会趋于常量,列电容成像公 式[23]:
并根 据Kalman基本关系式[20]可得:T−1T
G0=(SS+αI)SC,
∂Pk,k−1∂Qk
=,Gˆ=Gˆ−+K[z−SGˆ],
∂α∂αk/kk/k1kkk/k
(18)
−1T−1TT−1
PS=KP−.Kk=Pk/k−1S[SPk/k−1S+R],
vkkk,k1
ˆ
默认电容噪声R的序列已知, 所以令α=R, 将P=λkP−+Qk,(24)
k/kk/k1
( 17)式与(18)式整合后代入到(16)式得:−
Pk=[IKkS]Pk/k,
∑k
TTPˆ=SPST+R,
tr[KiSPi/i−1−KivivK]=0.(19)vkk/k
ii
i=1
ˆˆT−
Qk=KkPvkKk+PkPk/k−1.
在整个估计窗内, 若要(19)式成立, 必须满 
足 (20)式的条件[21]:
k4   实验设计与结果评价
1∑
TT 
KSP−=KvvK
kk/k1Niiii
i=
()
1∑k本文采用模拟复合材料胶接结构样件中胶层
=KvvTKT=KPˆKT.(20)
kNiikkvkk, 
i=1缺陷的检测实验验证所提出图像重建算法的有效
性. 实验材料选取陶瓷基多孔复合材料, 长 × 宽
结 合(6)式, 可以推出:
为15 cm × 15 cm、厚度为10 mm, 模拟胶层选取
−T−
KkSPk/k−1=Pk/k−1Pk=ΦkPk−1Φk+QkPk.
(21)的是16 cm × 16 cm、厚度为3 mm的环氧树脂胶
块, 其介电常数与隔热材料相近. 测量中电容空场
将(21)式代入(20)式可以推导出系统噪声矩
定义为没有胶层的状态(图3), 满场定义为满胶层
阵 Qk的自动适应预测估计值:
的状态(图4), 传感器单元、数据采集单元和图像
TT
Qˆ=KPˆK+P−ΦP−Φ.(22)
kkvkkkk/kk1k/k重建单元的实物图如图5所示. 被测复合材料样
为了加重新测量的信息在下一迭代过程中的件放置在传感器上方, 以非接触方式进行测量. 传
影响, 从而减弱模型对滤波结果的限制, 可使最后感电极的电场需要穿透复合材料才能敏感到胶层
一次迭代得到的灰度值最接近理论值, 误差最小,材料.
118102-4
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
 
法、传统Kalman滤波算法和自适应Kalman滤波
算法来对成像质量进行对比.
样件一为尺寸20 mm × 20 mm的单孔正方
形缺陷(图6(a)). 样件二为两个尺寸20 mm ×
20 mm的斜双孔缺陷(图6(b)). 样件三设计为
尺寸20 mm×20 mm的上下双孔缺陷(图6(c)). 样
件四为尺寸20 mm×20 mm的三孔缺陷 (图6(d)).
4种样件分别使用传统图像重建算法与自适应Kal-
图 3    无胶层状态man滤波算法得到的重建图为表1所示. 图7—
 Fig. 3. Sample without 
态下电容值的差值折线图.
 
从4种样件的成像效果图来看, LBP和Tikh-
onov正则化算法生成的图像伪影非常严重, 对于
样件四这种较为复杂的缺陷样件, 甚至分辨不出缺
陷的个数, 而Kalman滤波算法考虑了外界因素导
致的传感器测量的电容误差, 对图像的伪影有些许
改善, 但没有考虑系统误差, 图像误差依然很大,
样件四的缺陷轮廓较为模糊; 但自适应Kalman滤
波算法不仅考虑了电容测量误差, 还用极大似然准
则估计了敏感场“软场”性质带来的系统误差, 结
图 4    满胶层状态
果表明对4种样件都有很好的消除伪影的效果, 能
 Fig. 4. Complete sample.
清晰地分辨出缺陷的个数, 下文将从重建图像误
接下来分别设计4种由简单到较复杂的实验差、图像相关系数对4种算法生成的图像质量进行
样件, 并分别用LBP算法、Tikhonov正则化算对比 .
 
(a)(b)(c)
图 5    (a)传感器单元; (b)数据采集单元; (c) 图像重建单元实物图
 Fig. 5. (a) Sensor unit; (b) data acquisition unit; (c) physical image of image reconstruction unit.
 
(a)(b)(c)(d)
20mm20mm
20mm
20mm
20mm20mm
20mm
20mm20mm20mm
20mm
20mm
20mm
20mm
20mm
20mm
图 6    样件一(a)、二(b)、三(c)、四(d)示意图
 Fig. 6. Schematic diagram of sample I (a), II (b), III (c) and IV (d).
118102-5
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
  
/
电容差值电容差值
00
612182430364248546066612182430364248546066
电容测量值序号电容测量值序号
图 7    样件一电容差值折线图图 8    样件二电容差值折线图
 Fig. 7. Capacitance difference of sample I. Fig. 8. Capacitance difference of sample II.
  
/
电容差值电容差值
00
612182430364248546066612182430364248546066
电容测量值序号电容测量值序号
图 9    样件三电容差值折线图图 10    样件四电容差值折线图
 Fig. 9. Capacitance difference of sample III. Fig. 10. Capacitance difference of sample IV.
表 1    不同算法成像效果图
Table 1.    Imaging effects of different algorithms.
算法样件一样件二样件三样件四
LBP
TR正则化
Kalman滤波
自适应Kalman
I
在得到重建图像之后, 一般用重建图像误差Ie的相对误差值, e越小, 图像的质量就越高, 其公
 
118102-6
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
G−Gˆ
际的工业环境, 我们在电容数据和敏感场矩阵同时
Ie=,(25)
∥G∥被扰动的情况下对KF和AKF两种迭代算法前
ˆ
其中, G为初始的图像的灰度值矩阵; G为重建迭100次迭代的图像误差进行对比, 从而判断收敛速
E
代后的灰度值矩阵. Ic指原始的缺陷图像与经过算度. 首先定义电容数据噪声水平c和敏感场噪声
 E:
法重建后的图像灰度值向量之间的相关度, Ic越大水平s
, 
重建后的图像与原始的图像就越接近图像质量也
Cˆ−C
Ec=×100%,(27)
就越高 , 评价公式为∥C∥
 
∑m
ˆˆ¯¯
[(Gi−G)(Gi−G)]∥ˆ−∥
SS1
i=1Es=×100%,(28)
Ic=v,(26)∥S∥
umm1
u∑2∑
tˆ−ˆ¯−¯2
(GiG)(GiG)ˆ
, C, C,
i=1i=1其中为引入噪声的电容值为原始的电容值
ˆ
S为引入噪声的敏感场矩阵, S为原始敏感场矩阵,
ˆ¯ˆ¯
其中, G为重建后的图像灰度值G的平均值; G为
本文分别在3种样件测得的数据中引入10%的电
原始缺陷图像灰度值G的平均值.
容数据噪声和10%敏感场矩阵噪声, 即Ec和Es为
4种样件分别用上述4种算法得到的图像误
10%. 为使两种算法迭代前的图像相对误差相同,
差和图像相关系数对比分别如表2和表3所示.
先用正则化算法得到的灰度值矩阵作为两种迭代
 
表 2    不同算法图像误差对比算法的初始值, 然后利用两种算法迭代100次, 观
Table 2.    Image error comparison of different al-察每一次迭代4种样件的图像相对误差. 结果如
gorithms.
图11—图14所示.
算法样件一样件二样件三样件四
 
AKF
 
表 3    不同算法图像相关系数对比图像误差
Table 3.    Comparison of image correlation coeffi-
cients of different algorithms.
算法样件一样件二样件三样件四020406080100
图 11    样件一图像误差
 Fig. 11. Image error of sample I.
 
AKF
从表2和表3可以看出, 对于4种样件, AKFKF
算法相比于其他3种算法, 图像相关系数都有较大
提升, 图像误差有明显降低, 
较为复杂的缺陷样件, LBP, 
图像误差
, 而AKF算法依然可以在
, 提升近60%, 由此可以说明越是复杂的
缺陷, 电场线更容易受到干扰, 敏感场“软场”性质020406080100
更严重, 
由于真实的工程测量环境要比在实验室更复图 12    样件二图像误差
杂, 电容噪声和敏感场噪声更大, 为了更加贴近实 Fig. 12. Image error of sample II.
118102-7
物 理 学 报   Acta  Phys.  Sin.   Vol. 70, No. 11 (2021)    118102
 
, 并通过复合材
AKF
KF
. 实验结果表明, 所提算
法对平面阵列电极严重的不适定成像条件有较好
的适应性. 本文算法采用极大似然法估计平面阵列
图像误差电容成像模型的噪声方差阵, 有效降低了测量电容
“软场”性质带来的介电常数矩
阵噪声, 使图像误差相较于其他几种算法最高可降
020406080100低20%, , 并且通过对
迭代次数误差协方差矩阵进行动态加权的方法来对此算法
图 13    样件三图像误差的收敛速度进行优化, 收敛速度提升近15%. 此研
 Fig. 13. Image error of sample 
 
. 后续将进一步考虑复杂被测
AKF物场条件下的图像重建.
[1]Wen Y T, Zhao L M, Zhang Y Y, Pan Z, Wang H R  2015
. 36 1783 (in Chinese) [温银堂, 赵丽梅, 张玉
, 潘钊, 王洪瑞 2015 仪器仪表学报 36 1783]
[2]Hu X, Yang W  2010 SenorReview. 30 24
[3]Carl T C, Perez-Juste A J F, Manuchehr S  2018 IEEESens.
J. 18 6263
020406080100[4]Carl T C, Manuchehr S  2017 . 17 8059
迭代次数[5]Liang P Y, Han Y, Zhang Y Y, Wen Y T, Gao Q F, Meng J 
2021 Measurement 167 1084
[6]Taylor S H, Garimella S V  2016 .
图 14    样件四图像误差
106 1251
 Fig. 14. Image error of sample IV.
[7]Ye Z, Wei H Y, Soleimani M  2015 Measurement 61 270
[8]Krzysz