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典例分析
如果实数、满足,则的最大值为( )
A. ﻩﻩB. ﻩﻩC. ﻩﻩD.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,圆心为
,半径,(如图),,该问题可转化为如下几何问题:动点在以为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图可见,当在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最大值为
【答案】D;
若集合,集合且,则的取值范围为______________。
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】,显然,表示以为圆心,以3为半
径的圆在轴上方的部分,(如图),而则表示一条直线,其斜率,纵截距为,由图形易知,欲使,即是使直线与半圆有公共点,显然的最小逼近值为,最大值为,即
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【答案】
试求圆(为参数)上的点到点距离的最大(小)值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分析利用两点间距离公式求解或数形结合求解。
解法一设是圆上任一点,
.
因为,所以,因此
当时,.
当时,。
解法二将圆代入普通方程得.
如图所示可得,、分别是圆上的点到的距离的最小值和最大值.
易知:,。
说明⑴在圆的参数方程(为参数)中,为圆心,为半径,参数的
几何意义是:,常常用来表示半径为的圆上的任一点.
⑵圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具。
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【答案】最大值为,最小值为.
已知,,点在圆上运动,则的最小值是 .
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】设,则
.设圆心为,则,∴的最小值为.
【答案】.
已知圆,为圆上任一点,求的最大、最小值,求的最大、最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一由知,可设的坐标为,是参数。
则,令,
得,
.
所以,.
即的最大值为,最小值为.
此时.
所以的最大值为,最小值为.
方法二表示点与点连线的斜率,其中点为圆上的动点,
结合图象知,要求斜率的最值,只须求出过点的圆的切线的斜率即可,
设过点的直线方程为:.
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由,得,
所以的最大值为,最小值为.
令,同理两条切线在轴上的截距分别是 的最大、最小值.
由,得。
所以的最大值为,最小值为.
【答案】最大值为,最小值为.
求函数的值域.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】,于是,
其几何意义为单位圆上的任一点与点的连线的斜率.
结合图象知:过点与单位圆相切的直线的斜率为,,
连线的斜率的取值范围为,从而此函数的值域为。
【答案】
设,,求的最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分析式子的几何意义,它表示两点与的距离的平方,
前者在半圆上,后者在直线上,
结合简图知:半圆上的点到该直线的距离的最小值为,
从而所求的最小值为.
【答案】
实数满足,求的最大值与最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一变形得:,此方程表示一条直线。
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又∵满足,故直线与圆有公共点。
故,解得.
由于直线与圆无公共点,因此, 为所求。
即的最大值为,最小值为。
方法二设,,
则,
①几何意义为单位圆上的点与点连线的斜率,
求过点的单位圆切线的斜率:,,
从而的最大值为,最小值为。
②由此式得,
从而,解得,
因此的最大值为,最小值为。
【答案】最大值为,最小值为。
已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一由圆的标准方程.
可设点的坐标为(是参数).
则
(其中).
所以,。
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方法二是圆上点到原点距离的平方,
∴要求的最值,即求圆上距离原点距离最远和最近的点.
结合图象知:距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径,距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径。
所以,。
【答案】最大值为,最小值为.
若,求函数的最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】,
先求点与直线的距离为,
。
【答案】。
设点是圆是任一点,求的取值范围。
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一 设,则有,,
∴,∴
∴.
即()
∴.又∵
∴ 解之得:.
方法二根据几何意义求解
的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率,
利用此直线与圆有公共点,可确定出的取值范围。
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由得:,此直线与圆有公共点,
故点到直线的距离.
∴,解得:.
另外,直线与圆的公共点还可以这样来处理:
由消去后得:,
此方程有实根,故,解之得:.
【答案】。
已知对于圆上任一点,不等式恒成立,求实数的取值范围。
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】
方法一∵右上方面的点满足:,
结合图象知,
要圆上的任一点的坐标都满足,
只需直线在如图所示的切线的左下方,
图中切线的纵截距,
故只需,即即可.
方法二分析设圆上一点,问题转化为利用三角函数求范围.
解设圆上任一点,
∴,,
∵恒成立,∴恒成立,
即恒成立.
∴只须不小于的最大值。
设,
∴即.
【答案】.
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实数、满足,求的取值范围.
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一设,方程可化为
,
由得:
方法二方程表示圆心为、半径为的圆,
表示原点与该圆上的点连线的斜率.
设方程为,由点到距离
得:
∴ 所求的取值范围是.
【答案】
已知点在圆上运动.
⑴求的最大值与最小值;
⑵求的最大值与最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴ 设,,
取得最大值
,解得,∴的最大值为,最小值为.
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⑵设,,取得最
,解得,∴的最大值为,最小值为。
【答案】⑴的最大值为,最小值为
⑵的最大值为,最小值为.
若集合,集合,且,则的取值范围是 .
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】是一个圆心在原点,半径为的半圆(不包括端点),代表斜率为,截距
:若直线与圆有交点,则直线的截距范围是多少?
如图,容易得到是截距的极限位置,经过计算求出,.
于是的取值范围是.
【答案】.
的解集为,求的取值范围.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】函数可化为,所以表示圆心为
,半径为的圆在轴上方的部分,于是。
表示斜率为,截距为的直线.
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如图,为极限位置,此时,所以的取值需要满足为,解之得
的取值范围是.
【答案】。
求函数的值域.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】解法1的定义域为。配方,有
,设,即,有
,
。
当时,为增函数,所以;
当时,
,
为减函数,所以.
综上,的值域为.
解法2同解法1,将函数化为。以原点为圆心,为半径作圆,设在轴上运动,则
时,如图中位置,过作圆的切线,切点为,显然
,,分析,当位于时