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1、相反数:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数,也称为这两个数互为相反数。
0的
相反数是0。用数学语言表述为:若
a、b互为相反数,则
a+b=0即a
b,反之也成立。数
a的相反数是
-a。
2、倒数:若a、b(a、b均不为0)互为倒数,则ab=1即a
1
1
。0没有倒数,1
,反之也成立。a的倒数是
b
a
和-1的倒数是它们本身。
3、有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数,也可分为正实数、 0、负实数。实数与数轴上的
点一一对应。
4、有理数分为正有理数、 0、负有理数,它们均是有限小数或无限循环小数;也可分为整数和分数,整数又
分为正整数、 0、负整数;分数又分为正分数、负分数。无理数分为正无理数和负无理数,它们都是无限
不循环小数。
22
5、π是无理数,
7
是分数是小数是有理数,
0是自然数。
6、绝对值的几何定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,数
a的绝对值记为
“|a|。代”数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0。于是,
|a|=a
a
0;|a|=-a
a≤0。
7、
任何一个实数的绝对值都是非负数,即
|a|≥0。
a(a
0)
a(a
0)
a(a
0)
a
0(a
0)
或a
a(a
0)
,或a
0)
a(a
0)
a(a
8、
若|x|=a(a
≥,0)则x=±a,即绝对值的原数的双值性。
9、
数轴上两点
A(xA)、B(xB)之间的距离为|AB|=|
xA-xB|,其中点所表示的数为
xA
xB。坐标平面
2
内两点
A(xA,yA)、B(xB,yB)的距离为:|AB|=(xAxB)2
(yA
yB)2
,中点C
的坐标为
(xA
xB,yA
yB),点A到x轴的距离为|yA|,到y轴的距离为|xA|,到原点的距离为
xA
2
yA
2
,
2
2
如果xA=xB且yA≠yB,则直线AB平行于y轴;如果yA=yB且xA≠xB,则直线AB平行于x轴。
10
、科学记数法:把一个数写成
±a×10n的形式(其中
1≤a<10,n是整数)这种记数法叫做科学记数法。记数
的方法:(1)确定a;a是只有一位整数数位的数;(
2)确定n;当原数≥1时,n等于原数的整数位数减
1;当原数<1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数
(含整数位上的零)。
11
、近似数:按某种接近程度由四舍五入得到的数或大约估计数叫做近似数。一般地,一个近似数四舍五入
到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。一个数的近似数,常常要用科学记数法来表示。
12
、有效数字:一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,到精确到的位数止,所有的数字都叫做这个数
的有效数字。精确度的形式有两种:(
1)精确到哪一位数;(
2)保留几个有效数字。近似数非零数之间
的0和尾巴上的0都是有效数字。
13
、实数大小的比较:在数轴上表示的两个数,右边总比左边的大;正数大于零;负数小于零;正数大于一
切负数;两个负数,绝对值大的反而小。
14
、实数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(
2)异号两数相加,绝对值相等
时,和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
15
、加法交换律a+b=b+a;加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
16
、减去一个数,等于加上这个数的相反数;即
a-b=a+(-b)
17
、减法运算的步骤:(1)将减号变成加号,把减数的相反数变成加数;
(2)按照加减运算的步骤进行运算。
18
、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。实数乘法与加法运算步骤一样,第一步确定符号,
第二步确定绝对值。零乘以任何数都得
0。
19
、乘法交换律ab=ba;乘法结合律(ab)c=a(bc);乘法分配律a(b+c)=ab+ac
20
、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
0除以任何一个不等于
0的数,都得0;除以一个数
等于乘以这个数的倒数,即
1
(b≠0)
a÷b=a·
b
21
、乘方运算的性质:(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
(3)
任何数的偶次幂都是非负数;(
4)-1
的偶次幂是1,-1的奇次幂是-1;(5)1
的任何次幂都是1,0
的任
何非零次幂都是0;(6)负整数指数幂(
7)零指数幂
22
、列代数式及代数式的求值:用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式,单独一个数
或一个字母也是代数式;代数式分为有理式、无理式,有理式又分为整式、分式,整式分为单项式、多项
式。列代数式时,要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。一般来说,先读的先写;要正确
使用表明运算顺序的括号;列代数式时,出现乘法时,通常省略乘号,数与字母相乘,要将数写在字母前
面;带分数要化成假分数,然后再与字母相乘;数字与数字相乘仍用
“×”号:出现除法运算时,一般按分
数的写法来写。代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算顺序计算出结果。
列代数式时,如果代数式后跟单位,应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。
23
、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,把同类项合并成一项就叫做合并
同类项。合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变,系数相加。同类项与系数的大小没有关系。
24
、单项式:数与字母的乘积的代数式叫做单项式,单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式
中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。单独一个非零数的次
数是0。
25
、多项式:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫
做常数项,一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数,单项式和多项式统称为整式。
26
、π是数,是一个具体的数,而不是一个字母。
0是单项式,也是整式。
27
、整式的加减法则:整式的加减实质上是合并同类项。几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起
来,再用加减号连接起来,一般步骤是:
(1)如果遇到括号,按去括号法则先去括号;
(2)合并同类项。
28
、同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即
am·an=am+n(m、n都是正整数)
29
、幂的乘方与积的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(
am)n=amn(m、n都是正整数);积的乘
方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂的相乘,即(
ab)n=ambn(n是正整数)
30、 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的
因式。单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一个项,再把所得的积相加,多
项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
31
、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2
32
、完全平方式:a2±2ab+b2,特别注意交叉项的正负性和
2倍。(a+b)2=(a-b)2+4ab
33
、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,
m>n)
34
、零次幂、负整数次幂的意义:
a0=1(a≠0);a-p=
1
(a≠0,p是正整数)
ap
35、 单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有
的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
36、 多项式除以单项式:一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得
的商相加。
37、 应该注意整式乘法与除法中的符号运算。
38、 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式,多项式的因式分解常用
的方法有:提取公因式法、公式法。
39
、分解因式的公式:平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(ab)±2
40
、分解因式的一般步骤:提公因式;二项考虑平方差公式,三项的考虑完全平方公式或十字相乘法;四项
及以上考虑分组分解法。有时得用换元法(整体考虑)或者比较系数法。
41
、几个整式相乘,所有最高次项相乘得最高次项,最低次项相乘得最低次项。
42
、分式:如果除式B中含有字母,那么称
A
为分式。当B=0时,分式无意义;当A=0且B≠0时,分式
B
的值为0;当B≠0时,分式有意义。
43
、分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即
AAMAM(B0,M0)。
BBMBM
44、 分式的乘除法:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分
a
c
ac
a
c
a
d
ad
式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后现与被除式相乘。即
d
;
b
d
b
c
。
b
bd
bc
45、 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约分。
46、 分子、分母和分式三个符号的同时改变两个,其结果不变,分数线有时起着括号的作用,即
A A A A
。
B B B B
47、 分式的加减法:同分母的加减,分母不变,把分子相加加减;异分母的分式相加减,先通分,化为同分
母 的 分 式 , 然 后 再 按 同 分 母 分 式 的 加 减 法 法 则 进 行 计 算 。 即
a
b
ab
a
c
ad
bc
adbc
c
c
;
b
d
bd
bd
。
c
bd
a
n
an
48
、分式的乘方:
bn
b
49
、混合运算:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的。
50
、解分式方程的一般步骤:去分母,将分式方程化为整式方程;解这个整式方程;验根,把整式方程的根
代入最简公分母,若值不为
0,则是原方程的根,若值为
0,则是原方程的增根,舍去。
51
、分式方程的应用:分式方程应用题与一元方程应用题类似,不同的是注意双检验:(
1)检验所求的解是
不是原方程的解;(
2)检验所求的解是否符合题意。注意已知增根,求待定字母的取值。
52
、分式方程有解的条件为:去分母后的整式方程有解;去分母后的整式方程的解不能都为增根。
53
、当结果中含有根式时,一定要化成最简根式。
54
、二次根式的相关概念:(
1)平方根和算术平方根。一般地,如果一个正数
x的平方等于
a,即x2=a,那
么这个正数 x就叫做 a的算术平方根,记为 a,我们规定 0的算术平方根是 0,即 0 0。如果一个数
x的平方等于 a,即x2=a,那么这个数 x就叫做 a的平方根(也叫二次方根),记为 ± a。一个正数有两
个平方根;0只有一个平方根,它是 0本身;负数没有平方根。求一个数 a的平方根的运算,叫做开平方。
(2)立方根。如果一个数 x的立方等于 a,即x3=a,那么这个数 x就叫做a的立方根。正数的立方根是正
数;0的立方根是 0;负数的立方根是负数。
55、 一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。
56、 最简二次根式:被开方数的因数都是整数,因式都是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
57、 二次根式的化简:
a2
a
a(a
0)
;ab
a
b(a
0,b
0);
a
a(a0,b0)
a(a
0)
b
b
2
a
a
58
、二次根式的计算:
a
a(a
0);
a
b
ab;
b
b
59
、二次根式的加减法主要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根
式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。两个含有二次根式的代数式相乘,如果
它们的积不再含有二次根式,称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根号化去,叫做分母有理
化。
60
、两个式子比较大小的方法有:直接比较法、求差比较法、求商比较法、中间量传递;另外还有指数形式
往往把底数或指数化为相同;二次根式还有分母有理化或分子有理化;
61
、方程(组)及解的概念:含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中,只含有一个未知数
x(元),并且
未知数的指数是
1(次),这样的方程叫做一元一次方程,其标准形式为
axb0(a
0)。使方程左右
两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有两个未知数,并且所含未知数的的项的次数都是
1的方程
叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。只含有一
个未知数的整式方程,并且未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程,其一般形式为
ax2
bxc
0(a
0)。
62
、方程或方程组的解法:(
1)等式的性质:等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式(或除以同一个
不为0的数),所得结果仍是等式。(
2)一元一次方程的解:一般要通过去分母、去括号、移项、合并同
类项、未知数的系数化为
1,把一个一元一次方程
“转化”成x=a的形式。(3)二元一次方程组的解法:解
方程组的基本思路是
“消元”——把“二元”变为“一元”。主要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消
元法常用步骤是:要消哪一个字母,就用含其它字母的代数式表示出这个字母,然后用表示这个字母的代
数式代替另外的方程中的这个字母即可。(
4)一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。(
5)
一元 二次方程
ax2
bx
c
0(a
0)
的判别式
b2
4ac
。当
b2
4ac>0
时
ax2
bxc0
(a
0)有两个不相等的实数根;当
b2
4ac=0时
ax2
bxc0(a0)有两个相等的实数根;当
b2
4ac<0时
ax2
bx
c0(a0)
没有实数根。(6)若x1、x2是ax2
bx
c
0(a
0)
的两实数根,则
有x1x2
b
,x1x2
c。(7)对于一元二次方程
ax2
bxc
0(a
0)
,c
0
方程有一个
a
a
根为0;a
b
c0
方程有一个根为1;a
bc
0
方程有一个根为
-1;
63、关于方程ax
b,(1)当a
0时,方程有唯一解
b
;(2)当a=0,b
0时,方程无解;(3)当
x
a
a=0,b=0时,方程的解为全体实数。
64
、关于方程组
a1xb1yc1
a1
b1
时方程组有唯一解;(2)当
a1
b1
c1
时方程组无解;
a2xb2yc2
,(1)当
b2
a2
b2
c2
a2
(3)当a1
b1
c1时方程组有无数组实数解。
a2
b2
c2
65
、用公式法解一元二次方程时,首先要将一元二次方程化为一般形式,找出
a,b,c的值,即先计算判别式
b2
4ac,再用求根公式
x
b
b2
4ac(b2
4ac0);用配方法解一元二次方程时,先将
2a
方程二次项系数化为 1,然后两边同时加上 “一次项系数一半的平方 ”。特别注意别漏掉一个根。注意换元
法的使用。
66、 一元二次方程的近似解的求法,实质是利用夹逼方法进行求解的。
67、 列方程、方程组解应用题的一般步骤是:审题;设未知数;列方程或方程组;解方程或方程组;检验并
写出答案。审题是基础,找出等量关系,建立方程(组)模型是关键。
68
利润
售价
进价
;打a折,即降价为原来的
a
、利润率=
=
。
进价
进价
10
69
、降次的常用方法是:直接开方降次、分解因式降次,代入降次。
70
、不等式的性质:(1)基本性质
1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
(2)
基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(
3)基本性质3:不等式
的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。
71、 不等式和不等式组的解法:( 1)能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解,求不等式的解集的过
程叫做解不等式;( 2)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的
解集。求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。记住多画画数轴。
72、 求一元一次不等式(组)的整数解的步骤:( 1)求出一元一次不等式(组)的解集;( 2)找出合适解集
范围的整数解、非负数解、正整数解或负整数解。
73
、已知不等式组的解集,确定不等式中的字母的取值范围,有以下四种方法:(
1)逆用不等式组解;(
2)
分类讨论确定;(
3)从反而求解确定;(
4)借助数轴确定。
74
、一次函数ykx
b(k0),当函数值
y>0或y<0时,一次函数转化成不等式,利用函数图象、确定函
数值和自变量的取值范围。
75
、在平面内确定一个点的位置,通常需要两个量,这两个量可以是两个数,也可以是一个角度、一个数。
平面内,确定物体位置的的方法主要有两类:(
1)定点的位置:①线线相交,用交点的唯一性位置;②方
位角+距离:以某一点为观察点,用方位角、目标到达这个点的距离这两个数据来确定目标的位置。(
2)
定区域的位置。
76
、平面直角坐标系点的坐标特征:(
1)平面直角坐标系有关概念;(
2)点的坐标特征:x轴上的点,纵坐
标为零,y轴上的点,横坐标为零。即表示为(
a,0)、(0,b)。第一象限点(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-);(3)对称点的坐标:P(a,b)关于x轴,y轴和原点的对称点分别为
(a,-b),(-a,b),(-a,-b);P(a,b)关于y=x,y=-x对称的点的坐标为((b,a),(-b,-a);P(a,b)关于y=y0,x=x0对称的点的
坐标为((a,2y0-b),(2x0-a,b);(4)象限角平分线上的点的特征:第一、三象限角平分线上的点的特征是
(a,a)
(直线解析式为y=x);第二、四象限角平分线上的点的特征是(
-a,a)或(a,-a)。
77、 图形的变化:
变化前的点 变化后的点
坐标变化 图形变化
坐标(x,y) 坐标
平移 横坐标不变,纵坐标加上 (x,y+n)或 图形向上(或向下)平移了n个单位
(或减去)n(n>0)个单位
(x,y-n)
长度
长度
纵坐标不变,横坐标加上
(x+n,y)或
图形向右(或向左)平移了n个单位
(或减去)n(n>0)个单位
(x-n,y)
长度
长度
横坐标不变,纵坐标扩大
n
(x,ny)
图形被纵向拉长为原来的
n倍
(n>1)倍
伸长
纵坐标不变,横坐标扩大
n
(nx,y)
图形被横向拉长为原来的
n倍
(n>1)倍
横坐标不变,纵坐标缩小
n
y
1
(x,
图形被纵向缩短为原来的
)
n
(n>1)倍
n
压缩
纵坐标不变,横坐标缩小
n
x
1
,y)
图形被横向缩短为原来的
(
n
(n>1)倍
n
横纵坐标同时扩大
n(n>1)
放大
(nx,ny)
图形变为原来的n2倍
倍
横纵坐标同时缩小
n(n>1)
x
y
1
缩小
(,
)
图形变为原来的
倍
n
n
n2
78、求与几何图形联系的特殊点的坐标,往往是向
x轴或y轴引垂线,转化为求线段的长,再根据点所在的象
限,醒上相应的符号。求坐标分两种情况:(
1)求交点,如直线与直线的交点;(
2)求距离,再将距离
换算成坐标,通常作
x轴或y轴的垂线,再解直角三角形。
79、一般地,在某一个变化过程中,有两个变量
x和y,如果给定一个x值,相应夺就确定了一个
y值,那么
我们称y是x的函数,其中
x是自变量,y是因变量。函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。
80、把一个函数关系式的自变量
x与对应的因变量
y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面坐标系内描出
它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。即:若点
P(x,y)的坐标满足函数关系式,则点P
在函数图象上;反之,若点
P在函数图象上,则
P(x,y)的坐标满足函数关系式。描点法画函数图象的步
骤:列表、描点、连线。
81、要使函数关系式有意义:
函数关系式形式
自变量取值范围
整式函数
全体实数
分式函数
使分母不为零
偶次根式
使被开方数非负
根式函数
奇次根式
全体实数
零指数、负指数形式函数
使底数不为零
82、正比例函数与一次函数的概念:(
1)一次函数:形如
y
kxb(k≠0,k,b
是常数)的函数叫做一次
函数。(2)正比例函数:形如,
k是常数)的函数叫做正比例函数。(
3)正比例函数与一次函数的关系:
正比例函数是一次函数的特殊情形。
83、一次函数的图象和性质:(
1)图象:一次函数的图象是过点(
b
,0),(0,b)的一条直线,正比例
k
函数的图象是过点(
0,0),(1,k)的直线;|k|越大,(1,k)就越远离x轴,直线与
x轴的夹角越大;
|k|越小,(1,k)就离x
轴越近,直线与
x轴的夹角越小;(
2)性质:k>0时,y
随x增大而增大;k<0
时,y随x增大而减小;(
3)图象跨越的象限:
①k>0,b>0经过一、二、三象限;
②k<0,b>0经过一、二、
四象限;③k>0,b<0
经过一、三、四象限;
④k<0,b<0
经过二、三、四象限。即
k>0,一三;k<0,二四;
b>0,一
二;b<0,三四。(4)直线l1:y1
k1
b1和l2:y2
k2
b2的位置关系为:
k1k2,b2
b1
l1
l2;k1
k2,b2
b1
l1和l2相交于y轴上;
k1k2
1
l1l2
b>0 b=0 b<0 增减性