高一数学(必修一)知识点总结.pdf

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高一数学必修1各章知识点总结
(拂晓搜集整理)
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念

:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西
洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号
内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是
同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB
或BA
2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相
等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记
作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
:.
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子
集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A
于B的元素所组成属于集合B的元素所是S的一个子集,由
S中所有不属于A的元
的集合,叫做A,B组成的集合,叫做A,:A
素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或
BB(读作‘A并余集)

(读作‘A交
记作CSA,即
B’),即AB=B’),即AB={x|x
CSA={x|xS,且xA}S
{x|xA,且xA,或xB}).A
B}.
韦
恩ABABS
A
图
示图1图2
性
AA=AAA=A(CuA)(CuB)
AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)
质
AB=BAAB=BA(CuA)(CuB)
ABAABA=Cu(AB)
ABBABBA(CuA)=U
A(CuA)=Φ.
例题:
,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
{a,b,c}的真子集共有个
:.
={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.
=x1x2,B=xxa,若AB,则a的取值范围是
、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化
学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
(含边界上的点)组成的集合M=.
={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},
若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯
一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合
:y=f(x),x∈,x叫做自变量,x
的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函
数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义
域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5),
它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数
值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的
x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x∈A)(x,y)均满足函数关
系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为
:.
坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的
对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都
有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集
合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)
B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一
的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的
并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f、g的复合函数。

(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区
间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)
<f(x2),那么就说f(x)=f(x)
的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2
时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
:.
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数
的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;
○2作差f(x1)-f(x2);
○3变形(通常是因式分解和配方);
○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调
性相同的区间和在一起写成其并集.
(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)
=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)
=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=
0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=
0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
,,(1)再根据定义判定;(2)由
f(-x)±f(x)
=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象
判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
:.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
(小)值(定义见课本p36页)
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2利用图象求函数的最大(小)值
○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调
递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调
递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
:
x22x15x12
⑴y⑵y1()
x33x1
(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为__
(x1)的定义域为[2,3],则函数f(2x1)的定义域是
x2(x1)
(x)x2(1x2),若f(x)3,则x=

2x(x2)

:
⑴y=x2+2x-3(xR)⑵y=x2+2x-3xÎ[1,2]
(3)y=x-1-2x(4)yx24x5
(x1)x24x,求函数f(x),f(2x1)的解析式
(x)满足2f(x)f(x)3x4,则f(x)=。
(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时,f(x)=x(1+3x),则当x(,0)时f(x)=
f(x)在R上的解析式为
:
⑴2⑵2⑶2
yx2x3yx2x3yx6x1
x31的单调性并证明你的结论.
:.
1x2
(x)判断它的奇偶性并且求证:f(1)f(x).
1x2x
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
n
:一般地,如果xa,那么x叫做a的n次方
根,其中n>1,且n∈N*.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。
当n是奇数时,nana,当n是偶数时,
nna(a0)
a|a|
a(a0)

正数的分数指数幂的意义,规定:
m
nnm*
aa(a0,m,nN,n1),
m
n11*
am(a0,m,nN,n1)
nm
na
a
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

ararars
(1)·
(a0,r,sR);
(ar)sars
(2)
(a0,r,sR);
rrs
(3)(ab)aa
(a0,r,sR).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,且a1)叫做
指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>10<a<1
66
55
44
33
22
1111
-4-20246-4-20246
-1-1
:.
定义域R定义域R
值域y>0值域y>0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a,b]上,值域是
f(x)ax(a0且a1)[f(a),f(b)]
或[f(b),f(a)];
(2)若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当
xR;
x
(3)对于指数函数f(x)a(a0且a1),总有f(1)a;
二、对数函数
(一)对数
:一般地,如果axN(a0,a1),那么数x
叫做以a为底N的对数,记作:xlogaN(a—底数,N
—真数,logaN—对数式)
说明:○1注意底数的限制a0,且a1;
2x
○aNlogaNx;
○
两个重要对数:
○1常用对数:以10为底的对数lgN;
○2自然对数:以无理数e为底的对数的对数lnN
.
指数式与对数式的互化
幂值真数
b
a=NÛlogaN=b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果a0,且a1,M0,N0,那么:
:.
○1loga(M·N)logaM+logaN;
M
○2logalogaM-logaN;
N
○3n
logaMnlogaM(nR).
注意:换底公式
logcb
logab(a0,且a1;c0,且c1;
logca
b0).
利用换底公式推导下面的结论
nn1
(1)logamblogab;(2)logab.
mlogba
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数
函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注
意辨别。如:y2logx,x都不是对数函数,而只
2ylog5
5
能称其为对数型函数.
○2对数函数对底数的限制:(a0,且a1).
2、对数函数的性质:
a>130<a<13

22

1111

-10--10-
-1-1
--
-2-2
--
定义域x>0定义域x>0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如yx(aR)的函数称为幂函
数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,)上
:.
,当1时,幂函数的图象下凸;当
01时,幂函数的图象上凸;
(3)0时,幂函数的图象在区间(0,)
一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近
y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴
正半轴.
例题:
>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

4log31log5272log52
:①log32;②22=;253=;

log2764
③137034343=
()[(2)]16
8
=log(2x2-3x+1)的递减区间为
1
2
(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=
(x)=log1+x(a>0且a¹1),(1)求f(x)的定义域(2)求使f(x)>0的x的取值范围
a1-x
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使
f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实
数根,亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交
点函数yf(x)有零点.
3、函数零点的求法:
○1(代数法)求方程f(x)0的实数根;
:.
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
yf(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数yax2bxc(a0).
(1)△>0,方程ax2bxc0有两不等实根,二次函数的
图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2
(2)△=0,方程axbxc0有两相等实根,二次函数的
图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与
x轴无交点,二次函数无零点.

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画散点图
不
符选择函数模型
合
实
际
求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题