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数理统计论文新
数理统计“假设检验”
[摘要]:假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用。
[关键词]:假设检验样本总体检验
科技日新月异,人们的生活水平也随之得到提高。在生活水平提高的同时,人们在生活中需要检验的物件或事情也越来越多。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用,尤其在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用,甚至在医学方面有着广泛的前景,尤其在产品的质量管理方面,假设检验已成为必不可少的检验方法。因此,我们需要对假设检验作进一步的了解。
假设检验是用判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法,是一种基本的统计推断形式。假设检验的目的就在于排除抽样误差的影响,区分差别在统计上是否成立,并了解事件发生的概率。
一、假设检验的概念
事先对总体参数或分布形式作出某种假设,然后利用样本信息来判断原假设是否成立。
二、假设检验的基本思想
假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设是否正确,首先假定该假设正确,然后根据样本对假设作出接受或拒绝的决策。如果样本观察值导致了不合理的现象的发生,就应拒绝假设,否则应接受假设。
假设检验中所谓“不合理”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则,即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”,显然,“小概率事件”的概率越小,否定原假设就越有说服力。常记这个概率值为,称为检验的显着性水平。对不同的问题,检验的显着性水平不一定相同,但一般应取为较小的值,,。
三、假设检验的一般步骤
在假设检验问题中,通常对于一个需要用假设检验方法处理实际问题,首先要明确问题的性质,明确基本前提。由于基本前提是考虑问题的出发点,必须先明确下来。在明确了基本前提之后,假设检验一般可按以下步骤进行:
。
,给出拒绝域形式。
。
。
。
四、假设检验的两类错误
当假设正确时,小概率事件也有可能发生,此时我们会拒绝假设,因而犯了“弃真”的错误,“小概率事件”发生的概率,即
P{拒绝|为真}=.
反之,若假设不正确,但一次抽样检验结果,未发生不合理结果,这时我们会接受,因而犯了“取伪”的错误,,即
P{接受|不真}=.
理论上,自然希望犯这两类错误的概率都很小。当样本容量n固定时,,不能同时都小,即变小时,就变大;而变小时,就变大。一般只有当样本容量n增大时,才有可能使两者变小。在实际应用中,一般原则是:控制犯第一类错误的概率,即给定,然后通过增大样本容量n来减小.
关于显着性水平的选取:若注重经济效益,可取小些,如;若注重社会效益,可取大些,如;若要兼顾经济效益和社会效益,一般可取.
五、几种常见的假设检验
参数假设检验
设总体的分布函数已知,而其中有若干个参数是未知的,假设未知。,为参数空间。(可为一维或多维)将分解成二个互不相交的部分:,(非空)考察检验问题。
:,:
为原假设,为备择假设。
一般说来,对这三种假设所采用的假设统计量是相同的,差别在拒绝域上。当备择假设在原假设一侧时的检验称为单侧检验,当备择假设分散在原假设两侧时的检验称为双侧检验。
—检验
在原假设成立时,检验统计量服从标准正态分布,故称—检验。对常见的检验形式:
;
;
;
检验统计量相同,只是拒绝域形式不同。如果所用检验统计量为,对于(1)的拒绝域为;对于(2)的拒绝域为;对于(3)的拒绝域为,其中为检验统计量的值。即根据备择假设的形式来确定拒绝域。因此一般只要确定了检验统计量,该检验的检验方法也就可以确定了。
1)单个正态总体均值的检验
设是来自正态总体的样本,在总体方差已知的情况下也总体均值的检验。如:,:,故有检验统计量
2)两个正态总体均值之差的检验
设是来自正态总体的样本,是来自于另一个正态总体的样本,在两个总体方差已知的情况下对总体均值之差的检验。如
:,:。检验的统计量为:
3)大样本检验
在上面我们介绍两类有关均值假设检验,是在样本容量不大的情况下使用的。如果在样本容量较大的情况下,使用上面两类假设检验就不方便。那么在样本容量较大的情况下,我们可用近似的检验方法
_______大样本检验。其基本原理为:设是来自某总体的样本,总体均值为,方差为的函数。,记为:。在样本容量充分大的情况下,对总体均值的检验。如:,:。检验统计量为:
—检验
在原假设成立时,检验统计量服从分布,故称—检验。
1)单个正态总体在方差未知的情况下总体均值的检验。如:,:。
检验统计量为:
2)两个正态总体均值之差的检验
设是来自正态总体的样本,是来自于另一个正态总体的样本,在两个总体方差未知的情况下,但,的检验。
如:,:。检验的统计量为:。
—检验
在原假设成立时,检验统计量服从分布,故称—检验。
设是来自正态总体的样本,对其方差的检验。
检验的统计量为:
—检验
在原假设成立时,检验统计量服从分布,故称—检验。
设是来自正态总体的样本,是来自于另一个正态总体的样本,对两总体方差的检验。如:。
检验的统计量:
非参数假设检验
一般情况下讨论假设检验问题都是在总体分布形式已知的前提下,对分布的参数建立假设并进行检验,但也有总体分布形式未知的情况,我们必须对总体分布的形式建立假设并进行检验,这一类检验问题统称为分布的拟合检验,是一类非参数假设检验问题。,列联表的独立性的检验,正态性检验,Shapiro-Wilk检验等。下面我们只讨论其中一种情况
总体分布只取有限个情况()
设总体可以分成类,记为,现在对总体做了次观测,个类出现了频数分别为,且。现在要检验的假设为
,
其中诸,且,
备择假设为:
下面我们讨论以下两种情况
1)诸均为已知的
如果成立,则对每一类,其频率与概率较为接近或者是观测频数与理论频数相差不大。因此有检验统计量为
在充分的大时,,因此对于给定的显着水平,有检验的拒绝域为:
2)诸不完全为已知的
在成立的情况下,诸,可由个未知的参数确定,即,根据最大似然估计,可得到检验的统计量为:
在成立的情况下,近似的服从自由度为的分布,于是有检验的拒绝域为:
六、例题解析
例1某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉,洗衣粉包装机在正常工作时,装包量(单位:),每天开工后,,在桩号的洗衣粉中任取9袋,其重量如下:
假设总体标准差不变,即试问这天包装机工作是否正常
解 (1)提出假设检验:
(2)以成立为前提,确定检验的统计量及其分布,
(3)对给定显着性水平确定的接受域或拒绝,取临界点为使故被接受与拒绝的区域分别为
(4)由样本计算统计量的值
(5)对假设作出推断因为(拒绝域),故认为这天洗衣粉包装机工作不正常.
例2某厂生产的一种螺钉,,其长度服从正态分布考虑设检验问题
设为样本均值,按下列方式进行假设检验: