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圆的方程知识点总结和经典例题
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的会集
(轨迹)
标准
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:(a,b),半径:r
方程
D
E
一般
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-
圆心:-2,-
2,
方程
4F>0)
半径:1
D2+E2-4F
2
注意点
求圆的方程需要三个独立条件,因此无论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
(2)关于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一条件.
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的地址关系:
(1)假设M(x0,y0)在圆外,那么(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)假设M(x0,y0)在圆上,那么(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)假设M(x0,y0)在圆内,那么(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
〔1〕直线与圆的地址关系的判断方法
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后获取的一元二次方程的
鉴识式为.
方法地址关系
几何法
代数法
订交
d<r
>0
相切
d=r
=0
相离
d>r
<0
:由圆心到直线的距离
d与圆的半径r的大小关系判断.
:依据直线方程与圆的方程构成的方程组解的个数来判断.
:假设直线恒过定点,可经过判断点与圆的地址关系来判断直
线与圆的地址关系,但有必定的限制性,一定是过定点的直线系.
〔2〕过一点的圆的切线方程的求法
,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,
用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
,过这点的切线有两条,但在用设斜率来解题时可能求
出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
适用文档.
.
〔3〕求弦长常用的三种方法
22l2
,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r=d+2
解题.
假设直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.
设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的
方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=1+k2|x1-x2|=
1+k2[x1+x22-4x1x2].
圆与圆的地址关系
〔1〕圆与圆地址关系的判断方法
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
方法地址关系
几何法:圆心距d与r1,r2的
代数法:两圆方程联立构成方
关系
程组的解的状况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
订交
|r1-r2|<d<r1+r2
两组不一样的实数解
内切
d=|r1-r2|
一组实数解
(r1≠r2)
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
易误点:两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情况.
个步骤:
(1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径;
(2)计算两圆圆心的距离d;
(3)经过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的地址关系或求参数的范围,
必需时可借助于图形,数形结合.
,
要理清圆心距与两圆半径的关系.
〔2〕两圆订交有关问题
适用文档.
.
一般地过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2
=0交点的圆的方程可设为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=
0(λ≠-1),而后再由其余条件求出λ,即可得圆的方程.
,公共弦所在的直线方程
假设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相
交,那么两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求
出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距
构成的直角三角形,依据勾股定理求解.
对称问题
(1)点关于点成中心对称平时利用中点坐标公式
点P〔x,y〕关于Q〔a,b〕的对称点为P'〔2a-x,2b-y〕.
(2)点关于直线成轴对称
(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称
与圆有关的最值问题的常见解法
y-b
(1)形如μ=形式的最值问题,可转变成动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转变成动直线截距的最值问题.
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转变成动点到定点的距离的平方的最值问
题.
典型例题
1.
直线
3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的地址关系是
()
【分析】
圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0
的距离d=
|-5|=1,又圆x2+y2=1的半
32+42
径r=1,∴d=r,故直线与圆相切.
2.
直线
+
4y
+
=
与圆(x-1)
2+(y+
3x
120
1)2=9的地址关系是(
)
适用文档.
.
【分析】圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=|3×1+4×-1+12|32+42
11
=5<r.【答案】D
(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的
直线方程.
【分析】由题意知切线斜率存在,设切线的斜率为k,那么切线方程为y+
7=k(x-1),
|-k-7|
即kx-y-k-7=0.∴
=5,解得k=4或k=-3∴所求切线方程为
y
k2+1
3
4.
+7=4
-
或+=-
3-
,即
-
-=
或+
+=
3(x
1)
y7
4(x1)
4x
3y
250
3x4y
250.
4.
过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2
=1的切线,求此切线的方程.
【分析】因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,因此点A在圆外.
(1)假设所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
那么切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
因此|3k-1-3-4k|=1,即|k+4|=k2+1,
k2+1
因此k2+8k+16=k2+1,解得k=-
15
8.
15
因此切线方程为y+3=-8(x-4),即15x+8y-36=0.
(2)假设直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,因此另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
5.
求直线
l
:
+-=
0
被圆
C:x
2+y2
3xy6
-2y-4=0截得的弦长.
【分析】圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,
其圆心坐标为(0,1),半径r=5.
适用文档.
.
点(0,1)到直线l的距离为d=
|3×0+1-6|
10
32+12
=
2
,
l=2r2-d2=10,因此截得的弦长为
10.
6.
直线
x
+-+=
被圆
2+y2-2x
2y
550
x
-4y=0截得的弦长为(
)
6
【分析】圆的方程可化为
C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心为C(1,2),半径
r=5.
以以下图,取弦AB的中点P,连接CP,那么CP⊥AB,圆心C到直线AB的
距离d=|CP|=|1+4-5+5|△ACP中,|AP|=r2-d2=2,故直线被圆截得
12+22
的弦长|AB|=4.
7.
两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0
的地址关系是(
)
【分析】
两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6yd=42+-32=5.
又4-3<5<3+4,故两圆订交.
8.
1
2+y2-2x=0和圆O2:
2+y2-
圆O:x
x
4y=0的地址关系为(
)
【分析】
圆O1的圆心坐标为
,半径长
1=;圆
2的圆心坐标为
,
(1,0)
r
1
O
(0,2)
半径长r2=;=
2-
1<
1
2=
1
2
21r
r
|OO|
5<r+r
=3,即两圆订交.
9.
求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+
y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
联立两圆的方程得方程组
x2+y2-2x+10y-24=0,
【分析】
两式相减得
x2+y2+2x+2y-8=0,
x-2y+4=0,此为两圆公共弦所在直线的方程.
适用文档.
.
法一:设两圆订交于点A,B,那么A,B两点满足方程组
x-2y+4=0,
x=-4,
x=0,
解得
y=0
或
x2+y2+2x+2y-8=0,
y=2.
因此|AB|=-4-02+0-22=25,即公共弦长为25.
法二:由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为
(1,-5),半径长
r=52,圆心到直线
x-2y+4=0
的距离为d=
|1-2×-5+4|=3
,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=
1+-22
(35)2+l2,解得l=
5,故公共弦长2l=25.
10.
求圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x
25
-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=4所截得的弦长.
作差
【出色点拨】
联立圆C1、C2的方程――→得公共弦所在的直线
―→圆心C3到公共弦的距离d―→圆的半径r―→弦长=2
r2-d2
【分析】
设两圆的交点坐标分别为A(x1,1,
2
,2,那么
,的坐标是
y)
B(x
y)
AB
方程组
x2+y2=1,
的解,两式相减得x+y-1=0.
x2+y2-2x-2y+1=0
因为A,B两点的坐标满足x+y-1=0,因此AB所在直线方程为x+y-1
=0,即C1,C2的公共弦所在直线方程为x+y-1=0,
圆C3的圆心为
(1,1)
,其到直线
AB
的距离
=
1,由条件知r2-d2=25-1=
d
2
4
2
23,因此直线AB被圆C3截得弦长为×
23=23.
4
2
2
11.
圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x
对称,那么圆C的方程为(
)
A.(x+1)2+y2=1
+y2=1
.
2+(y+1)2=1
+(y-1)2=1
C
x
【分析】由圆(x-1)2+y2=1
得圆心C1
,半径长
11
(1,0
关于直线
y
(1,0)
rC
=-x对称的点为(a,b),
适用文档.
.
b
a-1·-1=-1,
=,
a0
那么
解得
因此圆C的方程为x2+(y+1)2=
a+1
b
b=-1.
-
2
=2,
1.
12.
当动点P在圆x2+y2=2上运动时,它与
定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________.
【分析】
设Q(x,y),P(a,b),由中点坐标公式得
a+3
x=2
,
a=2x-3,
b+1
因此
b=2y-1.
y=2
,
点P(2x-3,2y-1)满足圆x2+y2=2的方程,因此(2x-3)2+(2y-1)2=2,
化简得x-322+y-122=12,即为点Q的轨迹方程.
〔1〕△ABC的极点坐标分别是A〔5,1〕,B〔7,﹣3〕,C〔2,﹣8〕,求它的外接圆的方程;
〔2〕△ABC的极点坐标分别是A〔0,0〕,B〔5,0〕,C〔0,12〕,求它的内切圆的方程.
【解答】解:〔1〕设所求圆的方程为〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2=r2,①因为A〔5,1〕,B〔7,﹣3〕,C〔2,﹣8〕都在圆上,
因此它们的坐标都满足方程①,
于是,可解得a=2,b=﹣3,r=25,
因此△ABC的外接圆的方程是〔x﹣2〕2+〔y+3〕2=25.
〔2〕∵△ABC三个极点坐标分别为A〔0,0〕,B〔5,0〕,C〔0,12〕,
∴AB⊥AC,AB=5,AC=12,BC=13,
适用文档.
.
∴△ABC内切圆的半径r==2,圆心〔2,2〕,
∴△ABC内切圆的方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=4.
圆C:x2+〔y+1〕2=5,直线l:mx﹣y+1=0〔m∈R〕
〔1〕判断直线l与圆C的地址关系;
〔2〕设直线l与圆C交于A、B两点,假设直线l的倾斜角为120°,求弦
AB的长.
【解答】解:〔1〕因为直线l
的方程是
+
,即
y
﹣
1=mx
,经过定
mx﹣y1=0
点H〔0,1〕,
而点H到圆心C〔0,﹣1〕的距离为2,小于半径
,故点H在圆的内部,
故直线l与圆C订交,故直线和圆恒有两个交点.
〔
〕直线
l
的倾斜角为
120
°,直线
l
:﹣
+
,
2
x﹣y
1=0
圆心到直线的距离
d=
|
|
=2
=4.
=1,∴AB
15.
过点
-,-
2)
的直线
l
被圆
2+y2-2x
(
1
x
-2y+1=0截得的弦长为
2,求直线l的方程.
【解】
由题意,直线与圆要订交,斜率一定存在,设为
为y+2=k(x+1).
又圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,因此圆心到直线
的距离
|2k-1-2|
2
22
2
d=
1+k2
=
1-
2
=
2.
解得k=1或
17因此直线
l
的方程为
y
+=
+
1
或
y+2=
17
(x+1),即x
-
y
7.
2x
7
-1=0或17x-7y+3=0.
适用文档.