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物理实验误差分析与数据处理
目录
实验误差分析与数据处理 2
1测量与误差 2
2误差的处理 6
3不确定度与测量结果的表示 10
4实验中的错误与错误数据的剔除 13
5有效数字及其运算规则 15
6实验数据的处理方法 17<br****题 25
实验误差分析与数据处理
1测量与误差
测量及测量的分类
物理实验是以测量为基础的。在实验中,研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量,就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较,得出它们的倍数关系的过程。选来作为标准的同类量称之为单位,倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。
在人类的发展历史上,不同时期,不同的国家,乃至不同的地区,同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流,国际计量大会于1990年确定了国际单位制(SI),它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位,其他物理量(如力、能量、电压、磁感应强度等)均作为这些基本单位的导出单位。
测量可分为两类。一类是直接测量,是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量,是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算,才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速度时,需先直接测量单摆长l和单摆的周期T,再应用公式,求得重力加速度g。物理量的测量中,绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量,还是间接测量,都需要满足一定的实验条件,按照严格的方法及正确地使用仪器,才能得出应有的结果。因此实验过程中,一定要充分了解实验目的,正确使用仪器,细心地进行操作读数和记录,才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。
同一个人,用同样的方法,使用同样的仪器,在相同的条件下对同一物理量进行多次测量,尽管各次测量并不完全相同,但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确,只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中,只要有一个发生变化,这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中,凡是要求多次测量均指等精度测量,应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说,在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时,乃可视为等精度测量。在本书中,除了特别指明外,都作为等精度测量。
误差及误差的表现形式
物理量在客观上有着确定的数值,称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想,测量人员不熟练等原因,使得测量结果与客观真值有一定的差异,这种差异称之为误差。若某物理量测量的量值为x,真值为A,则产生的误差x为:
x=x–A
任何测量都不可避免地存在误差。在误差必然存在的条件下,物理量的真值是不可知的。所以在实际测量中计算误差时,通常所说的真值有如下几种类型:
(1)理论真值或定义真值。如用平均值代替真值,三角形内角何等于180°等。
(2)计量约定真值。如前面所介绍的基本物理量的单位标准,以及国际大会约定的基本物理量。
(3)标准器相对真值(或实际值)。用比被标准过的仪器高一级的标准器的量值作为标准器相对真值。例如:用级的电流表测得某电路的电流为,用级电流表测得的电流为,则后者可示为前者的真值。
误差的表示形式有绝对误差和相对误差之分。绝对误差是测量值和真值的数值之差:
=x–A(1-1)
根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度,还需要考虑被测量本身的大小,为此引入相对误差,相对误差E定义为绝对误差与被测量量的真值x的比值,即:
(1-2)
相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重,它是无单位的一个纯数,所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量,也可以评价不同物理量的测量,从而判断它门之间优劣。
如果待测量有理论值或公认值,也可用百分差来表示测量的好坏。即:
(1-3)
误差的分类
既然测量不能得到真值,那么怎样才能最大限度的减小测量误差并估算出误差的范围呢要解决这个问题,首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差。
在一定条件下(指仪器、方法和环境)对同一物理量进行多次测量时,其误差按一定的规律变化,测量结果都大于真值或都小于真值。系统误差产生的原因可能是已知的,也可能是未知的。产生系统误差的原因主要有:
(1)由于仪器本身存在一定的缺陷或使用不当造成的。如仪器零点不准、仪器水平或铅直未调整、砝码未校准等。
(2)实验方法不完善或这种方法所依据的理论本身具有近似性。例如用单摆测量重力加速度时,忽略空气对摆球的阻力的影响,用安培表测量电阻时,不考虑电表内阻的影响等所引入的误差。
(3)实验者生理或心理特点或缺乏经验所引入的误差。例如有人读数时,头****惯性的偏向一方向,按动秒表时****惯性的提前或滞后等。
同一物理量在多次测量过程中,误差的大小和符号以不可预知的方式变化的测量误差称为随机误差,随机误差不可修正。随机误差产生的原因很多,归纳起来大致可分为以下两个方面:
(1)由于观测者在对准目标、确定平衡(如天平)、估读数据时所引入的误差。
(2)实验中各种微小因素的变动。例如,实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性,实验中电源电压的波动、环境的温度、湿度、照度的变化所引起的误差。
随机误差的出现,单就某一次观测来说是没有规律的,其大小和方向是不可预知的。但对某一物理量进行足够多次测量,则会发现随机误差服从一定的统计规律,随机误差可用统计方法进行估算。
测量的精密度、准确度、精确度
我们常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高,误差大的精度低,这里精度却是一个笼统的概念,它并不明确表示描写的是哪一类误差,为描述更具体,我们把精度分为精密度、准确度和精确度。
精密度表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时,所得结果的相互接近程度。它用来描述测量得重复性。精密度高,即测量数据得重复性好,随机误差较小。
(i)精密度(ii)准确度(iii)精确度
图1-1测量的精密度、准确度、精确度图示(以打靶为例)
准确度表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确度高,即测量结果接近真值得程度高,系统误差小。
精确度是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接近真值的程度。
为了形象地说明这三个概念的区别和联系,我们以打靶为例说明(图1-1):
(i)精密度高而准确度较差;
(ii)准确度高而精密度较差;
(iii)精密度和准确度都很高,即精确度很高。
2误差的处理
误差的产生有其必然性和普遍性,误差自始至终存在于一切科学实验中,一切测量结果都存在误差。本节主要介绍上述两类误差的处理方法。
系统误差
一个实验结果的优劣,往往在于系统误差是否已经被发现或尽可能消除,所以预见一切可能产生的系统误差的因素,并设法减小它们是非常重要的。一般而言,对于系统误差可以在实验前对仪器进行校准,对实验方法进行改进,在实验时采取一定的措施对系统误差进行补偿和消除,实验后对结果进行修正等。
系统误差的处理是一个比较复杂的问题,它没有一个简单的公式,主要取决于实验者的经验和技巧并根据具体情况来处理。从实验者对系统误差掌握的程度来分,又可分为已定系统误差和未定系统误差两类。
已定系统误差是指绝对值和符号都已确定的,可以估算出的系统误差分量。例如:对一个标准值为50毫克的三等砝码,就无法知道该砝码的误差值是多少。只知道它对测量结果造成的未定系统误差限为±2mg,但如果在使用前用高一级的砝码进行校准,就可得到已定系统误差得值。
未定系统误差是指符号或绝对值未经确定的系统误差分量。例如,仪器出厂时的准确度指标是用符号仪表示的。它只给出该类仪器误差的极限范围。但实验者使用该仪器时并不知道该仪器的误差的确切大小和正负,只知道该仪器的准确程度不会超过仪的极限(例如上面所举砝码中的±2mg)。所以这种系统误差通常只能定出它的极限范围,由于不能知道它的确切大小和正负,故无法对其进行修正。对于未定系统误差在物理实验中我们一般只考虑仪器测量仪器的(最大)允许误差仪(简称仪器误差)。
随机误差的估算
随机误差的特点是随机性。也就是说在相同条件下,对同一物理量进行多次重复测量,每次测量的误差的大小和正负无法预知,纯属偶然。但是实践和理论证明,如果测量次数足够多的话,大部分测量的随机误差都服从一定的统计规律。本书只着重介绍随机误差的正态分布。
遵从正态分布的随机误差有以下几点特征:
(1)单峰性。绝对值大的误差出现的可能性(概率)比绝对值小的误差出现的概率小。
(2)对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会均等,对称分布于真值的两侧。
(3)有界性。在一定的条件下,误差的绝对值不会超过一定的限度。
(4)抵偿性。当测量次数很多时,随机误差的算术平均值趋于零,即
正态分布的特征可用正态分布曲线形象地表达。如图2-1所示。
横坐标表示误差=x1-x0式中x0为被测量量的真值。纵坐标为一个与误差出现的概率有关的概率密度函数f()。根据概率论的数学方法可以导出:
(2-1)
(a)(b)
图2-1概率密度函数曲线图
测量值的随机误差出现在到+d区间内可能性为即图(a)中阴影所含的面积元。上式中是一个与实验条件有关的常数,称为标准误差,其值为:
(2-2)
式中n为测量次数,各次测量的随机误差为。
由式2-1可知,随机误差的正态分布曲线的形状与值有关,如图(b)所示,值越小,分布曲线越尖锐,峰值f()越高,说明绝对值小的误差占多数,且测量值的离散性较小,重复性好,测量精密度较高;反之值越大,则曲线越平坦,该组测量值的离散性大,测量精密度低。标准误差反映了测量值的离散程度。
由是测量值随机误差出现在小区间的可能性(概率),即n次测量值误差出现在内的概率为:
(2-3)
这说明对任一次测量,其测量值误差出现在-到+区间内的概率为%。从概率密度分布函数的曲线图来看:设曲线下面积为1即100%,则介于间的曲线下的面积为%。用同样的方法计算可得介于间的概率为%,介于间的概率为%。显然,测量误差的绝对值大于3
的概率仅为%。在通常情况下的有限次测量测量误差超出±3范围的情况几乎不会出现,所以把3称为极限误差。
——算术平均值
尽管一个物理量的真值是客观存在的,但由于误差的存在,企图得到真值的愿望仍然不能实现。那么是否能够得到一个测量结果的最佳值,或者说得到一个最接近真值的数值呢根据随机误差具有抵偿性特点,我们可以求得真值的最佳估计值——近真值。
设在相同条件下对一个物理量进行多次没量,测量值分别为,则该没量值的算术平均值:
(i=1,2,3,……)(2-4)
而各次测量的随机误差为:
式中x0为真值,为第i次测量值,对n次测量的绝对误差求和有:
等式两边各除以n可得:
当测量次数由随机误差具有抵偿性的特点,所以有:
故根据以上推导可得:
由此可知,测量次数愈多,算术平均值接近真值的可能性愈大。当测量次数足够时,算术平均值是真值的最佳估计值。
标准误差的估算——标准偏差
由于真值不知道,误差无法计算,因而按照式2-2标准误差也无从估算。根据算术平均值是近真值的结论,在实际估算误算时采用算术平均值代替真值,用各次测量值与算术平均值的差值来估算各次测量的误差,差值称为残差。当测量次数n有限时,如用残差来表示误差时,其计算公式为:
(2-5)
称为任一次测量的标准偏差,它是测量次数有限多时,标准误差的一个估计值。其代表的物理意义为:如果多次测量的随机误差遵从正态分布,那么,任一次测量的测量值误差落在到区域之间的可能性(概率)为%。通过误差理论可以证明,平均值的标准偏差为:
(2-6)
上式说明算术平均值的标准偏差是n次测量中的任意一次测量值标准偏差的,小于,因为算术平均值是测量结果的最佳值,它比任意一次测量值xi更接近真值,所以误差要小。的物理意义是在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下,真值处于区间内的概率为%。