高一数学集合的知识点.pdf

文档介绍：该【高一数学集合的知识点 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【13】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高一数学集合的知识点 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
新状元教育罗老师专用
第1讲集合
【课标要求】

(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感
受集合语言的意义和作用;

(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;

(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用
【要点精讲】
:某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作aA;若b不是集合A的元素,
记作bA;
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者
不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因
此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再
画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一
般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N;
+
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),
记作AB(或AB);
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;
若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A
是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
:.
新状元教育罗老师专用
(2)若S是一个集合,AS,则,C={x|xS且xA}称S中子集A的补集;
S
(3)简单性质:1)C(C)=A;2)CS=,C=S
SSSS
:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交
集。交集AB{x|xA且xB}。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B
的并集。并集AB{x|xA或xB}
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集
的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、
挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
:
(1)AAA,A,ABBA;
(2)AA,ABBA;
(3)(AB)(AB);
(4)ABABA;ABABB;
(5)C(A∩B)=(CA)∪(CB),C(A∪B)=(CA)∩(CB)。
SSSSSS
四.【典例解析】
题型1:集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这
两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
答案:12
解析设两者都喜欢的人数为x人,则只喜爱篮球的有(15x)人,只喜爱乒乓球的有
(10x)人,由此可得(15x)(10x)x830,解得x3,所以15x12,即
所求人数为12人。
例1.(2009广东卷理)已知全集UR,集合M{x2x12}和
N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的
集合的元素共有()
:.
新状元教育罗老师专用


答案B
M{x2x12}1x3MN1,3
解析由得,则,有2个,选B.
2
例2.(2009山东卷理)集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值
为()

答案D
a216
2
解析∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
a4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,
本题属于容易题.
题型2:集合的性质
2
例3.(2009山东卷理)集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为
()

答案D
a216
2
解析∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
a4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,
本题属于容易题.
随堂练习
1.(广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R
︱x2+x-6=0},则下图中阴影表示的集合为()
A.{2}B.{3}
C.{-3,2}D.{-2,3}
={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若
A∩B≠φ,则实数a的取值范围为().
:.
新状元教育罗老师专用
分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系
列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从
,情
形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正
确的解答.
解:由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当
A∩B=
a2a2
由,得
a214a3或a3
a24a2+1
∴a3或3a2.
即A∩B=φ时a的范围为a3或3a∩B≠φ时a的范围显然

是其补集,从而所求范围为a|a2或3a3.
评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再
利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”.
{1,3,x3x22x},A={1,2x1}如果CA{0},则这样的实数x
S
是否存在?若存在,求出x,若不存在,说明理由
解:∵CA{0};
S
∴0S且0A,即x3x22x=0,解得x0,x1,x2
123
当x0时,2x11,为A中元素;
当x1时,2x13S
当x2时,2x13S
∴这样的实数x存在,是x1或x2。
另法:∵CA{0}
S
∴0S且0A,3A
∴x3x22x=0且2x13
∴x1或x2。
点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时,
:.
新状元教育罗老师专用
2x11”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CA{0}是两层含义:
S
0S且0A。
变式题:已知集合A{m,md,m2d},B{m,mq,mq2},其中m0,且AB,
求q的值。
解:由AB可知,
mdmqmdmq2
(1),或(2)
m2dmq2m2dmq

解(1)得q1,
1
解(2)得q1,或q,
2
又因为当q1时,mmqmq2与题意不符,
1
所以,q。
2
题型3:集合的运算
x1
例5.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数f(x)的定义域集合是A,函数
x2
g(x)lg[x2(2a1)xa2a]的定义域集合是B
(1)求集合A、B
(2)若AB=B,求实数a的取值范围.
x|x1或x2
解(1)A=
x|xa或xa1
B=
a1

(2)由AB=B得AB,因此
a12
1a1a1,1
所以,所以实数的取值范围是

例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则
AICB()
N
1,5,73,5,7
.
1,3,91,2,3
.
:.
新状元教育罗老师专用
答案A
ACB1,5,7
解析易有,选A
N
点评:该题考察了集合的交、补运算。
题型4:图解法解集合问题
x2y2xy
例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合M=x|1,N=y|1,
9432
则MN
()
A.B.{(3,0),(2,0)}

C.3,,2
答案C
(理)试卷
设全集R,函数f(x)lg(|x1|a1)(a1)的定义域为A,集合
B{x|cosx1},若(CA)B恰好有2个元素,求a的取值集合。

解:|x1|1a0|x1|1a
a1时,1a0∴xa或xa2
∴A(,a2)(a,)
cosx1,x2k,∴x2k(kz)
∴B{x|x2k,kz}
当a1时,CA[a2,a]在此区间上恰有2个偶数。
a1

aa22a0

4a22
Aa,a,,a(k≥2)aZ(i1,2,,k)A
2、,其中,由中的元素构成两个相
12ki
应的集合:
S(a,b)aA,bA,abAT(a,b)aA,bA,abA
,.其中
(a,b)是有序数对,A,总有
aA,则称集合A具有性质P.
:.
新状元教育罗老师专用
k(k1)
(I)对任何具有性质P的集合A,证明:n≤;
2
(II)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
解:(I)证明:首先,由A中元素构成的有序数对(a,a)共有k2个.
ij
因为0A,所以(a,a)T(i1,2,,k);
ii
又因为当aA时,aA时,aA,所以当(a,a)T时,
ij
(a,a)Ti,(j,,1,2k.
ji
1k(k1)
从而,集合T中元素的个数最多为(k2k),
22
k(k1)
即n≤.
2
(II)解:mn,证明如下:
(1)对于(a,b)S,根据定义,aA,bA,且abA,从而(ab,b)T.
如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素,那么ac与bd中至少有一个不成立,从而
abcd与bd中也至少有一个不成立.
故(ab,b)与(cd,d)也是T的不同元素.
可见,S中元素的个数不多于T中元素的个数,即m≤n,
(2)对于(a,b)T,根据定义,aA,bA,且abA,从而(ab,b)
果(a,b)与(c,d)是T的不同元素,那么ac与bd中至少有一个不成立,从而
abcd与bd中也不至少有一个不成立,
故(ab,b)与(cd,d)也是S的不同元素.
可见,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m,
由(1)(2)可知,mn.
、B两事件的态度,有如下结果赞成A的人数是全体的五
分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不
赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都
不赞成的学生各有多少人?
3
解:赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为U
5A
B
30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成
X
事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为30-X33-X
集合B。X
+1
3
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
:.
新状元教育罗老师专用
x
都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数
3
x
为33-x。依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有
3
21人,都不赞成的有8人。
点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切
实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到
用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,
不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。
,又不是3的倍数,也不是5的倍数
的自然数共有多少个?
解:如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)5的倍数
-(200÷10)-(200÷6)-(200÷15)
2的倍数
+(200÷30)=1463的倍数
所以,符合条件的数共有200-146=54(个)
点评:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满
足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。
题型7:集合综合题
2x1
例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|<2},B={x|<1},若AB,求实数a
x2
的取值范围。
解:由|x-a|<2,得a-2<x<a+2,所以A={x|a-2<x<a+2}。
2x1x3
由<1,得<0,即-2<x<3,所以B={x|-2<x<3}。
x2x2
a22
因为AB,所以,于是0≤a≤1。
a23
点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的
概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利
。
{a}是等差数列,d为公差且不为0,a和d均为实数,它的前n项和记作
n1
S1
S,设集合A={(a,n)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}。
nn
n4
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a≠0时,一定有A∩B≠。
1
n(aa)S1S
解:(1)正确;在等差数列{a}中,S=1n,则n(a+a),这表明点(a,n)
nn2n21nnn
1S11
的坐标适合方程y(x+a),于是点(a,n)均在直线y=x+a上。
1n1
2n22
:.
新状元教育罗老师专用
11
yxa
1
22
(2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程
1
x2y21
4
组消去y得:2ax+a2=-4(*),
11
当a=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;
1
4a2
y1
4a22a
当a≠0时,方程(*)只有一个解x=1,此时,方程组也只有一解1,
1
2aa24
1
y1
4a
1
故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
S
(3)不正确;取a=1,d=1,对一切的x∈N*,有a=a+(n-1)d=n>0,n>0,这时集
1n1
n
合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a=1≠0如果A∩B≠,
1
4a22ax3
那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x,y),而x=1<0,y=10<
0002a50
24
1
0,这样的(x,y)A,产生矛盾,故a=1,d=1时A∩B=,所以a≠0时,一定有A∩B≠是
0011
不正确的。
点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。
变式题:解答下述问题:
(Ⅰ)设集合A{x|x22x2m40},B{x|x0},,若AB,求实数m
的取值范围.
分析:关键是准确理解AB的具体意义,首先要从数学意义上解释AB
的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。
解:
命题方程x22x2m40至少有一个负实数根,
设M{m|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数},
4(2m3)0

3
则xx202m,
122

xx2m40
12
33
M{m|2m}设全集U{m|0}{m|m}
22
m的取值范围是M={m|m<-2}.
U
(解法二)命题方程的小根x12m30
2m312m31m2.
:.
新状元教育罗老师专用
(解法三)设f(x)x22x4,这是开口向上的抛物线,其对称轴x10,则二次
函数性质知命题又等价于f(0)0m2,
注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。
(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a,a,a,a},
1234
B{a2,a2,a2,a2},其中aaaa
12341234
若AB{a,a},且aa10,且AB的所有元素之和是124,求集合A、B.
1414
分析:命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,
注意“正整数”这个条件的运用,
1aaaa,a2a2a2a2,
12341234
AB{a,a},只可能有aa2a1,
14111
而aa10,a9,a2a,
14444
(1)若a2a,则a3,AB{1,3,a,9,a2,81},
24233
aa294124a5;
333
(2)若a2a,则a3,同样可得a5a,与条件矛盾,不合;
34323
综上,A{1,3,5,9},B{1,9,25,81}.
(Ⅲ)设集合A{(x,y)|y2x1},B{(x,y)|4x22x2y50},
C{(x,y)|ykxb},问是否存在自然数k,b,使(AB)C,
试证明你的结论.
分析:正确理解(AB)C,并转化为具体的数学问题.
要使(AB)C(AC)(BC),必须AC且BC,
y2x1
由k2x2(2kb1)xb210,
ykxb
当k=0时,方程有解xb21,不合题意;
4k21
当k0时由(2kb1)24k2(b21)0得b①
14k
4x22x2y50
又由4x22(1k)x52b0,
ykxb
20(k1)2
由4(1k)216(52b)0得b②,
28
:.
新状元教育罗老师专用
120
由①、②得bk1,而b,
4k8
∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1
点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问
题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。
题型6:课标创新题
,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能
站在正中间的位置,则有多少不同的排法?
解:设集合A={甲站在最左端的位置},
B={甲站在最右端的位置},
C={乙站在正中间的位置},
D={丙站在正中间的位置},
则集合A、B、C、D的关系如图所示,
∴不同的排法有A74A64A52640种.
765
点评:这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错,
若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今
后的学习中应注意总结集合应用的经验。
[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合:①对任意
x[1,2],都有(2x)(1,2);②存在常数L(0L1),使得对任意的x,x[1,2],
12
都有|(2x)(2x)|L|xx|
1212
(1)设(x)31x,x[2,4],证明:(x)A
(2)设(x)A,如果存在x(1,2),使得x(2x),那么这样的x是唯一的;
0000
(3)设(x)A,任取x(1,2),令x(2x),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意
ln1n
Lk1
的正整数p,成立不等式|xx||xx|H。
klk1L21
解:
对任意x[1,2],(2x)312x,x[1,2],33(2x)35,133352,所
以(2x)(1,2)
对任意的x,x[1,2],
12
2
|(2x)(2x)||xx|,
121222
312x312x1x31x
1122
3312x212x1x1x
33,
1122
:.
新状元教育罗老师专用
22
3所以0<,
223
312x312x1x31x
1122
2
令=L,
22
312x312x1x31x
1122
0L1,|(2x)(2x)|L|xx|
1212
所以(x)A
反证法:设存在两个x,x(1,2),xx使得x(2x),x(2x)。
00000000
则由|(2x)(2x/)|L|xx/|,
0000
得|xx/|L|xx/|,所以L1,矛盾,故结论成立。
0000
xx(2x)(2x)Lxx,
322121
所以xxLn1xx
n1n21
Lk1
|xx|xxxxxx|xx|

kpkkpkp1kp1kp2k1k1L21
xxxxxx
kpkp1kp1kp2k1k
Lkp2xxLkp3xx+„Lk1xx
212121
LK1
xx。
1L21
点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关
系当中,题目比较新颖
思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问
题,运用集合观点去研究和解决数学问题。
,熟练运用集合的各种符号,如、、
、、=、CA、∪,∩等等;
S
,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几
何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简
训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)
以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或
求解),一般应考虑先化简(或求解);
“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决
:.
新状元教育罗老师专用
问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
②AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
③若集合A中有n(nN)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真子
集的个数是2n-1,所有非空真子集的个数是2n2
④区分集合中元素的形式:
如A{x|yx22x1};
B{y|yx22x1};
C{(x,y)|yx22x1};
D{x|xx22x1};
E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ};
F{(x,y')|yx22x1};
y
G{z|yx22x1,z}。
x
⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、和{}的区别;0与三者间的关系。空集是
任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了
A的情况。
⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关
系;符号“,”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是
为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力