高中数学知识点总结(文科).pdf

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高中数学知识点总结
第一章——集合与简易逻辑
集合——知识点归纳
定义:一组对象的全体形成一个集合
特征:确定性、互异性、无序性
表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图
分类:有限集、无限集
数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ
关系:属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=
运算:交运算A∩B={x|x∈A且x∈B};
并运算A∪B={x|x∈A或x∈B};
补运算CA={x|xA且x∈U},U为全集
U
性质:AA;φA;若AB,BC,则AC;
A∩A=A∪A=A;A∩φ=φ;A∪φ=A;
A∩B=AA∪B=BAB;
A∩CA=φ;A∪CA=I;C(CA)=A;
UUUU
C(AB)=(CA)∩(CB)
UUU
方法:韦恩示意图,数轴分析
注意:①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
②AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
③若集合A中有n(nN)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真
子集的个数是2n-1,所有非空真子集的个数是2n2
④区分集合中元素的形式:如A{x|yx22x1};B{y|yx22x1};
C{(x,y)|yx22x1};D{x|xx22x1};E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ};
y
F{(x,y')|yx22x1};G{z|yx22x1,z}
x
⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、和{}的区别;0与三者间的关系空集是任何集
合的子集,是任何非空集合的真子集条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情
况
1:.
⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关
系;符号“,”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系
绝对值不等式——知识点归纳
1绝对值不等式
xa与xa(a0)型不等式axbc与axbc(c0)型不等式的解法与
解集:

不等式xa(a0)的解集是xaxa;

不等式xa(a0)的解集是xxa,或xa
axbc(c0)x|caxbc(c0)
不等式的解集为;

不等式axbc(c0)的解集为x|axbc,或axbc(c0)
2解一元一次不等式axb(a0)
bb
①a0,xx②a0,xx
aa
3韦达定理:
方程ax2bxc0(a0)的二实根为x、x,
12
b
xx
12
2a
则b4ac0且
c
xx
12a
0

①两个正根,则需满足xx0,
12

xx0
12
0

②两个负根,则需满足xx0,
12

xx0
12
0
③一正根和一负根,则需满足
xx0
12

2:.
ax2bxc0或ax2bxc0a0
对于一元二次不等式,设相应的一元二次方程
ax2bxc0a0x、x且xxb24ac
的两根为,,则不等式的解的各种
1212
情况如下表:
000
yax2bxcyax2bxcyax2bxc
二次函数
yyy
yax2bxc
(a0)的图象ox
x1x
2
ox=xxox
12
一元二次方程
有两相异实根有两相等实根
ax2bxc0b无实根
x,x(xx)xx
a0的根1212122a
ax2bxc0b
xxx或xxxxR
(a0)的解集122a

ax2bxc0

xxxx
(a0)的解集12
方程的根→函数草图→观察得解,对于a0的情况可以化为a0的情况解决
注意:含参数的不等式ax2+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax2+bx+c>0的解
集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况
简易逻辑——知识点归纳
命题可以判断真假的语句;
逻辑联结词或、且、非;
简单命题不含逻辑联结词的命题;
复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式p或q、p且q、非p
真假判断p或q,同假为假,否则为真;
p且q,同真为真,否则为假;
非p,真假相反
原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若p则q;逆否命题若q则p;
互为逆否的两个命题是等价的
3:.
反证法步骤假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立
充要条件条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充分条件,
结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q的必要条件,
条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充要条件,
第二章——函数
函数定义——知识点归纳
1函数的定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A
中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从
集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量x的取值范围A叫
做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做
函数的值域
2两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f当函
数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定因此,定义
域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同
时,这两个函数才是同一个函数
3映射的定义:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A
中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、
B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集
4映射的概念中象、原象的理解:(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都
有原象,不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一
函数解析式——知识点归纳
1函数的三种表示法
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的
解析表达式,简称解析式
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系
(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系
2求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
4:.
(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组
法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
题型讲解
11
例1(1)已知f(x)x3,求f(x);
xx3
2
(2)已知f(1)lgx,求f(x);
x
(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x);
1
(4)已知f(x)满足2f(x)f()3x,求f(x)
x
1111
解:(1)∵f(x)x3(x)33(x),
xx3xx
∴f(x)x33x(x2或x2)
2
(2)令1t(t1),
x
222
则x,∴f(t)lg,∴f(x)lg(x1)
t1t1x1
(3)设f(x)axb(a0),
则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b
axb5a2x17,
∴a2,b7,∴f(x)2x7
1
(4)2f(x)f()3x①,
x
113
把①中的x换成,得2f()f(x)②,
xxx
31
①2②得3f(x)6x,∴f(x)2x
xx
注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;
第(4)题用方程组法
定义域和值域——知识点归纳
5:.
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值
范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练
1求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程
组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
2求函数定义域一般有三类问题:
(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意
义;
(3)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域:
①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;
f(x)a,bfg(x)ag(x)b
②若已知的定义域,其复合函数的定义域应由解出
3求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:
(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运
算”而得函数的值域
①直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;
k
反比例函数y(k0)的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};
x
二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R,
(4acb2)
当a>0时,值域为{y|y};
4a
(4acb2)
当a<0时,值域为{y|y}
4a
6:.
②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
f(x)ax2bxc,x(m,n)的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
k
⑥基本不等式法:转化成型如:yx(k0),利用平均值不等式公式来求值域;
x
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,
axb
得出y的取值范围;常用来解,型如:y,x(m,n)
cxd
单调性——知识点归纳
1函数单调性的定义:
2证明函数单调性的一般方法:
①定义法:设x,xA且xx;作差f(x)f(x)(一般结果要分解为若干个因式
121212
的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号
②用导数证明:若f(x)在某个区间A内有导数,则f’(x)0,(xA)
f(x)在A内为增函数;f’(x)0,(xA)f(x)在A内为减函数
3求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法

4复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性:

①若f与g的单调性相同,则fg(x)为增函数;
fg(x)
②若f与g的单调性相反,则为减函数
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集
5一些有用的结论:
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
7:.
增函数f(x)增函数g(x)是增函数;
减函数f(x)减函数g(x)是减函数;
增函数f(x)减函数g(x)是增函数;
减函数f(x)增函数g(x)是减函数
bbb
④函数yax(a0,b0)在,或,上单调递增;在
xaa

bb
,0或0,上是单调递减
aa

奇偶性——知识点归纳
1函数的奇偶性的定义;
2奇偶函数的性质:
(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
3f(x)为偶函数f(x)f(|x|)
4若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)0
5判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意
使定义域不受影响;
6牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f(x)
f(x)f(x)0,1
f(x)
8设f(x),g(x)的定义域分别是D,D,那么在它们的公共定义域上:
12
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
1判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价
形式:f(x)=f(x)f(x)f(x)=0;
2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
3若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
4奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判
8:.
断函数的奇偶性
5若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,
(5)函数的周期性
定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(xT)f(x)恒成立
则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期
反函数——知识点归纳
1反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
2定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若yf(x)
与yf1(x)互为反函数,函数yf(x)的定义域为A、值域为B,则
f[f1(x)]x(xB),f1[f(x)]x(xA);
3单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于yx对
称
4求反函数的一般方法:
(1)由yf(x)解出xf1(y),(2)将xf1(y)中的x,y互换位置,得
yf1(x),(3)求yf(x)的值域得yf1(x)的定义域
二次函数——知识点归纳
二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
b
1二次函数的图象及性质:二次函数yax2bxc的图象的对称轴方程是x,
2a
b4acb2
顶点坐标是,

2a4a
2二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法
有三种形式,即f(x)ax2bxc(一般式),f(x)a(xx)(xx(零点式))和
12
f(x)a(xm)2n(顶点式)
3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用
图象求解,有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c(a>0)
9:.
00

(1)x<α,x<α,则b/(2a);(2)x>α,x>α,则b/(2a)
1212

af()0af()0
0
0
f()0
(3)α<x<,α<x<,则(4)x<α,x>(α<),则f()0
12f()012

f()0
b/(2a)

(5)若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根,则有f()f)0
4最值问题:二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论,即:
(1)对称轴b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)
对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
1讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②
2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值
的符号;③对称轴与区间的相对位置
5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
①0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的
解集为或者是R;
②0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根
ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实
根ax2+bx+c>0(<0)的解集为(,)()或者是(,)(,)
指数对数函数——知识点归纳
1根式的运算性质:
①当n为任意正整数时,(na)n=a
a(a0)
②当n为奇数时,nan=a;当n为偶数时,nan=|a|=
a(a0)
npampnam
⑶根式的基本性质:,(a0)
2分数指数幂的运算性质:
10:.
amanamn(m,nQ)
(am)namn(m,nQ)
(ab)nanbn(nQ)
3yax(a0且a1)的图象和性质
a>10<a<1
yy
图
11
象
oxox
(1)定义域:R
性(2)值域:(0,+∞)
质(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数
4指数式与对数式的互化:abNlogNb
a
5重要公式:log10,loga1对数恒等式alogaNN
aa
6对数的运算法则
如果a0,a1,N0,M0有
log(MN)logMlogN
aaa
M
loglogMlogN
aNaa
m
logMmlogM
anna
7对数换底公式:
logN
logNm(a>0,a1,m>0,m1,N>0)
aloga
m
8两个常用的推论:
①logbloga1,logblogcloga1
ababc
n
②logbnlogb(a,b>0且均不为1)
amma
9对数函数的性质:
11:.
a>10<a<1
yy
图
oxo1x
象1
定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即当x1时,y0
性
质
x(0,1)时y0x(0,1)时y0
x(1,)时y0x(1,)时y0
在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
10同底的指数函数yax与对数函数ylogx互为反函数
a
11指数方程和对数方程主要有以下几种类型:
(1)af(x)=bf(x)=logb,logf(x)=bf(x)=ab;(定义法)
aa
(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logf(x)=logg(x)f(x)=g(x)>0(转化法)
aa
(3)af(x)=bg(x)f(x)loga=g(x)logb(取对数法)
mm
(4)logf(x)=logg(x)logf(x)=logg(x)/logb(换底法)
abaaa
函数图象变换——知识点归纳
1作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义
域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化
趋势);④描点连线,画出函数的图象
2三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;
3识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
4平移变换:(1)水平平移:函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方
向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到;
12:.
(2)竖直平移:函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上
(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到
左移h右移h
①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(xh);
上移h下移h
③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)h
5对称变换:(1)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得
到;
(2)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到;
(3)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到;
(4)函数yf1(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到
x轴y轴
①y=f(x)y=f(x);②y=f(x)y=f(x);
直线xa直线yx
③y=f(x)y=f(2ax);④y=f(x)y=f1(x);
原点
⑤y=f(x)y=f(x)
6翻折变换:(1)函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方部分沿x轴
翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到;
(2)函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代
原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到
yyy
y=f(x)y=|f(x)|y=f(|x|)
aobcxaobcxaobcx
7伸缩变换:(1)函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横
坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩(0a1)为原来的a倍得到;
(2)函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横
1
坐标伸长(a1)或压缩(0a1)为原来的倍得到
a
13:.
xxy
①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x)

第三章数列数列
数列定义——知识点归纳
(1)一般形式:a,a,,a
12n
(2)通项公式:af(n)
n
(3)前n项和:Saaa及数列的通项a与前n项和S的关系:
n12nnn
S(n1)
Saaaa1
n12nnSS(n2)

nn1
等差数列——知识点归纳
1等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列
就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
2等差数列的判定方法:
aaada
②定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列
nn1nn
a2aaaa
③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列
nn1nn2n
3等差数列的通项公式:
aadaa(n1)d
④如果等差数列的首项是,公差是,则等差数列的通项为
n1n1
该公式整理后是关于n的一次函数
4等差数列的前n项和:
n(aa)n(n1)
⑤S1n⑥Snad
n2n12
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
5等差中项:
ab
⑥如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即:A或
2
2Aab
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项
与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
5等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系:如果a是等差数列的第n项,a是等差数列的第m项,
nm
且mn,公差为d,则有aa(nm)d
nm
14:.
anmpqaaaa
⑧对于等差数列,若,则
nnmpq
也就是:aaaaaa
1n2n13n2
aSkN*SSSSS
⑨若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,
nnk2kk3k2k
成等差数列如下图所示:
S
3k
aaaaaaaa
123kk12k2k13k
SSSSS
k2kk3k2k
6奇数项和与偶数项和的关系:
aSSS
⑩设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和,
n奇偶n
则有如下性质:
前n项的和SSS
n奇偶
n
当n为偶数时,SSd,其中d为公差;
偶奇2
n1n1Sn1
当n为奇数时,则SSa,Sa,Sa,奇,
奇偶中奇2中偶2中Sn1
偶
SSS
n奇偶n(其中a是等差数列的中间一项)
SSSS中
奇偶奇偶
7前n项和与通项的关系:
a2n1Sb2n1
⑾若等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为
n2n1n
aS
S',则n2n1
2n1bS'
n2n1
等比数列——知识点归纳
1等比数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,
那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示
(q0)
2等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与
b的等比中项
Gb
也就是,如果是的等比中项,那么,即G2ab
aG
3等比数列的判定方法:
a
①定义法:对于数列a,若n1q(q0),则数列a是等比数列
nan
n
aa