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一、选择题:
1、实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。那么b+a的值为〔〕
A、23;B、-23;C-2;D-13
2、假设直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,那么有〔〕
A、ab=h;B、+=;C、+=;D、a2+b2=2h2
3、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为〔4,-11〕,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负,那么a、b、c中为正数的〔〕
A、只有a;B、只有b;C、只有c;D、只有a和b
4、如下图,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB
的距离之比为1:2。假设△ABC的面积为32,△CDE的面
积为2,那么△CFG的面积S=〔〕
A、6;B、8;C、10;D、12
5、如果x和y是非零实数,使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0,那么x+y等于〔〕
A、3;B、;C、;D、4-
二、填空题:
6、如下图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=600,那么∠EDC=_____________〔度〕。
7、据有关资料统计,两个城市之间每天的通话次数T与这两个城市的人口数m、n〔单位:万人〕以及两个城市间的距离d〔单位:km〕有T=的关系〔k为常数〕。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如下图,且A、B两个城市间每天的通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的次数为次〔用t表示〕。
8、实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,那么(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=。
9、如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC〔BC>AD〕,∠D=900,
BC=CD=12,∠ABE=45,假设AE=10,那么CE的长度为。
10、实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,那么z的最大值是.
三、解答题:
11、通过实验研究,专家们发现,初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一端时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散,学生注意力指标数y随时间x〔分钟〕变化的函数图象如下图〔y越大表示学生注意力越集中〕。当0≤x≤10时,图象是抛物线的一局部,当10≤x≤20和20≤x≤40时,图象是线段。
〔1〕当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;
〔2〕一道数学竞赛题,需讲解24分钟,问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36。
12、a、b是实数,关于x、y的方程组有整数解,求a、b满足的关系式。
13、D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB,求的值。
14、a<0,b≤0,c>0,且=b-2ac,求b2-4ac的最小值。
数学奥林匹克竞赛题:
,它们中任意两条都不平行,且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个局部?
此问题的变例〔即特殊情况〕:
变例1:十刀最多可以把一张饼分成多少块?
变例2:一个圆形纸片,切100刀,最多可以将它分割为多少块?
对变例2,我们首先猜想其结论:
令S1,S2,……,Sn分别表示将圆形纸片切一刀,二刀,……,n刀所得块数,那么有
S1=2=1+1
S2=4=1+1+2
S3=7=1+1+2+3
S4=11=1+1+2+3+4
……Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n
∴当n=100时,有S100=1+〔100+1〕·100=5051〔块〕
解:设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数,那么有bn=n+1.
设an-1为平面被符合条件的n-1条直线分割成的局部数,那么当平面上插入符合条件的第n条直线时,前n-1条直线与第n条直线相交于n-1个不同的点,这n-1个点分第n条直线为bn-1段,而每一分段恰分平面上一个已存在的局部为两个局部,于是,有:
an=an-1+bn-1〔n>1,n∈N〕
又:bn-1=n
∴an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=……=n+(n-1)+(n-2)+……+2+a1又:a1=2=1+1
∴an=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1+1
,小王从下向上走,假设每次只能跨一级或两级,他走上去共有多少种不同的走法?
解:考虑更一般的情况:在同样条件下走n级台阶,情况如何?
设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。假设第一次走一级,那么余下的n-1级有an-1种走法;假设第一次走两级,那么余下的n-2级有an-2种走法。
∴an=an-1+an-2(n>2,n∈N)
显然a1=1,a2=2
∴a3=a1+a2=3
a4=a3+a2=5
a5=a4+a3=8
a6=a5+a4=13
a7=a6+a5=21
a8=a7+a6=34
a9=a8+a7=55
a10=a9+a8=89
思考题:用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸,共有多少种不同的覆盖方式?
解题新思路:
探究数学问题解决的新思路,对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。下面一道例题,是从多维度角度出发来探究解题新思路的:
例:如图〔1〕在梯形ABCD中,AB∥CD,四边形ACED是平行四边形,延长DC交BE于F.
  求证:EF=FB
分析:这个题目本身不难,求证也容易,但通过对题设和结论的深入挖掘与探索,我们可以得出许多好的证法,总结如下:
证明一:如下图,作BQ∥AD,交DF延长线于Q点,那么四边形ABQD是平行四边形,从而BQ=AD,再由题设可证△CEF≌△QBF,得证EF=FB.
证明二:如左图所示:作FM∥DA交AB于M,那么四边形ADFM是平行四边形,从而FM=△CEF≌△MFB,从而结论可得证.
证明三:作CN∥EB交AB于N,那么四边形CNBF是□,从而CN=FB.
   再证:△ANC≌△DFE,可得CN=EF,即EF=FB.
证明四:作DP∥FB交AB于P,证明△ADP≌△CEF,从而得出结论.
证明五:延长EC交AB于G,那么四边形ADCG是□,∴CE=AD=GC,∥GB,∴F是EB中点,结论得证.
证明六:连结AE交CD于O点,那么O是AE中点,又OF∥AB,∴F是AB中点,得证.
证明七:延长ED交BA延长线于H点,那么HACD是□,∴CA=DH=ED ∴∥HB∴F是EB中点,得证.
证明八:作ES∥CD交AD延长线于S,那么CDSE是□∴DS=CE=AD∴∥CD∥AB∴F是EB中点,得证.
证明九:在证明一作的辅助线根底上,连结EQ,那么可得ECBQ是□,从而F是□ECBQ对角线EB的中点。
总之,上述不同证法的辅助线可归结为以下两种:
①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。
②作平行线,由题设产生中点,通过平行线等分线段定理的推论得出结论。
这其中,其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。