人教版 高中数学知识点汇总.pdf

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人教版高中数学
高中数学主要知识点
必修1数学知识
第一章、集合与函数概念
§、集合
1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。
3、常见集合:正整数集合:N*或N,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§、集合间的基本关系
1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的
子集。记作AB.
2、如果集合AB,但存在元素xB,且xA,:AB.
3、:.并规定:空集合是任何集合的子集.
4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有2n个子集.
§、集合间的基本运算
1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,:AB.
2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,:AB.
3、全集、补集?CA{x|xU,且xU}
U
运算交集并集补集
类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是
义S的一个子集,由S中
于B的元素所组成属于集合B的元素所
所有不属于A的元素组
的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做A,B
成的集合,叫做S中子
B(:AB集A的补集(或余集)
作‘A交B’),即(读作‘A并B’),即
记作CA,即
S
AB={x|xA,且AB={x|xA,或
CA={x|xS,且xA}
xB}.xB}).S
-1-:.
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韦
S
恩ABAB
A
图
示图1图2
性AA=AAA=A(CA)(CB)
uu
AΦ=ΦAΦ=A
=C(AB)
u
AB=BAAB=BA
(CA)(CB)
ABAABAuu
质ABBABB=C(AB)
u
A(CA)=U
u
A(CA)=Φ.
u
§、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都
fxf:AByfx,xA
有惟一确定的数和它对应,那么就称为集合A到集合B的一个函数,记作:.
2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、,并且对应关系完全一致,
则称这两个函数相等.
§、函数的表示法
1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.
§、单调性与最大(小)值
单调性的定义:见书P28
1、注意函数单调性证明的一般格式:
x,xa,bxxfxfx
解:设且,则:=…
121212
§、奇偶性
fxxfxfxfx
1、一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就称函数为偶函数.
偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有fxfx,那么就称函数fx为奇函数.
奇函数图象关于原点对称.
第二章、基本初等函数(Ⅰ)
§、指数与指数幂的运算
1、一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根。其中n1,nN.

2、当n为奇数时,nana;当n为偶数时,nana.
3、我们规定:
-2-:.
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n1

⑴ammana0,m,nN*,m1;⑵ann0;
an
4、运算性质:
s
⑴arasarsa0,r,sQ;⑵ararsa0,r,sQ;⑶abrarbra0,b0,rQ.
§、指数函数及其性质
yaxa0,a1
1、记住图象:
相关性质:
§、对数与对数运算
1、axNlogNx;2、alogaN、log10,loga1.
aaa
4、当a0,a1,M0,N0时:
M
logMNlogMlogNloglogMlogNlogMnnlogM
⑴;⑵;⑶.
aaaaNaaaa

logb1
5、换底公式:logbca0,a1,c0,c1,b0.6、logb
alogaaloga
cb
a0,a1,b0,b1.
-3-:.
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§2..、对数函数及其性质
ylogxa0,a1
1、记住图象:
a
相关性质:
§、幂函数
1、几种幂函数的图象:
-4-:.
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基本初等函数的图像和基本性质
对数数函数
表yaxa0,a1
指数函数ylogxa0,a1
1
a
定
xRx0,
义
域
值
y0,yR
域
图
象
过定点(0,1)过定点(1,0)
减函数增函数减函数增函数
x(,0)时,y(1,x)(,0)时,y(0,1)x(0,1)时,y(0,)x(0,1)时,y(,0)
x(0,)时,y(0,1)x(0,)时,y(1,x)(1,)时,y(,0)x(1,)时,y(0,)
性
质
ab
ababab
表2幂函数yx(R)
p
00111
q
-5-:.
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p为奇数
q为奇数奇函数
p为奇数
q为偶数
p为偶数
q为奇数偶函数
第一象限过定点
减函数增函数
性质(01,)
第三章、函数的应用
§、方程的根与函数的零点
fx0yfxxyfx
1、方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点.
yfxa,bfafb0
2、性质:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,
yfxa,bca,bfc0cfx0
函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
§、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§、几类不同增长的函数模型
§、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.
必修2数学知识点
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面
体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,
平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
-6-:.
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⑴圆柱侧面积;S2rl⑵圆锥侧面积:Srl⑶圆台侧面积:SrlRl
侧面侧面侧面
⑷体积公式:
11
VSh;VSh;VSSSSh
柱体锥体3台体3上上下下
4
⑸球的表面积和体积:S4R2,VR3.
球球3
第二章:点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:
⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
10、面面平行:
⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
第三章:直线与方程
yy
1、倾斜角与斜率:ktan21
xx
21
2、直线方程:
yyxx
yykxxykxb11
⑴点斜式:⑵斜截式:⑶两点式:
00yyxx
2121
⑷一般式:AxByC0
-7-:.
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3、对于直线:
l:ykxb,l:ykxb有:
111222
kkkk
⑴l//l12;⑵l和l相交kk;⑶l和l重合12;⑷llkk1.
12bb121212bb1212

1212
4、对于直线:
l:AxByC0,
1111有:
l:AxByC0
2222
ABAB
⑴l//l1221;⑵l和l相交ABAB;

12BCBC121221

1221
ABAB
⑶l和l重合1221;⑷llAABB0.
12BCBC121212

1221
5、两点间距离公式:
PPxx2yy2
122121
6、点到直线距离公式:
AxByC
d00
A2B2
第四章:圆与方程
1、圆的方程:
xa2yb2r2
⑴标准方程:
⑵一般方程:x2y2DxEyF0.
2、两圆位置关系:dOO
12
⑴外离:dRr;⑵外切:dRr;⑶相交:RrdRr;
⑷内切:dRr;⑸内含:dRr.
3、空间中两点间距离公式:
PPxx2yy2zz2
12212121
必修3数学知识点
第一章:算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言;
2、算法的三种基本结构:
顺序结构、选择结构、循环结构
3、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法;
4、循环结构中常见的两种结构:
-8-:.
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当型循环结构、直到型循环结构
5、基本算法语句:
①赋值语句:“=”(有时也用“←”)②输入输出语句:“INPUT”“PRINT”
③条件语句:
If…Then
…
Else…
EndIf
④循环语句:“Do”语句
Do
…
Until…
End
“While”语句
While…
…
WEnd
⑹算法案例:辗转相除法—同余思想
第二章:统计
1、抽样方法:
①简单随机抽样(总体个数较少)②系统抽样(总体个数较多)③分层抽样(总体中差异明显)
n
注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本,每个个体被抽到的机会(概率)均为。
N
2、总体分布的估计:
⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的药重复写。
3、总体特征数的估计:
xxxx
⑴平均数:x123n;
n
取值为x,x,,x的频率分别为p,p,,p,则其平均数为xpxpxp;
12n12n1122nn
注意:频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差:一组样本数据x,x,,x
12n
n2n2
11
方差:s2(xx);标准差:s(xx)
nini
i1i1
注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;②制作散点图,判断线性相关关系

③线性回归方程:ybxa(最小二乘法)
-9-:.
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n
xynxy
ii
bi1

n2
2
xnx
i
i1
aybx
注意:线性回归直线经过定点(x,y)。
第三章:概率
1、随机事件及其概率:
⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
m
⑶随机事件A的概率:P(A),0P(A)1;
n
2、古典概型:
⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:
①所有的基本事件只有有限个;②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个,事件A包含了其中的m个基本事件,则事件
m
A发生的概率P(A)。
n
3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个;②每个基本事件都是等可能发生。
d的测度
⑵几何概型概率计算公式:P(A);
D的测度
其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件:
⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件A,A,,A任意两个都是互斥事件,则称事件A,A,,A彼此互斥。
12n12n
⑶如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B发生的概率的和,
即:P(AB)P(A)P(B)
⑷如果事件A,A,,A彼此互斥,则有:
12n
P(AAA)P(A)P(A)P(A)
12n12n
⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件。
①事件A的对立事件记作A
P(A)P(A)1,P(A)1P(A)
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章、三角函数
§、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合:
-10-:.
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
2k,kZ.
§、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
l
2、.
r
nR
3、弧长公式:lR.
180
nR21
4、扇形面积公式:SlR.
3602
§、任意角的三角函数
Px,y
1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
y
siny,cosx,tan.
x
Ax,yrx2y2
2、设点为角终边上任意一点,那么:(设)
0000
yxy
sin0,cos0,tan0.
rrx
0
3、sin,cos,tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.
4、诱导公式一:
sin2ksin,
cos2kcos,kZ
(其中:)
tan2ktan.
5、特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270°的三角函数值.

643
sin
cos
tan
§、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系:sin2cos21.
sin
2、商数关系:tan.
cos
§、三角函数的诱导公式
-11-:.
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1、诱导公式二:
sinsin,
coscos,
tantan.
2、诱导公式三:
sinsin,
coscos,
tantan.
3、诱导公式四:
sinsin,
coscos,
tantan.
4、诱导公式五:

sincos,
2

cossin.
2

sincos,
2
5、诱导公式六:

cossin.
2
§、正弦、余弦函数的图象
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
§、正弦、余弦函数的性质
fxx
1、周期函数定义:对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当取定义域内的每一个值时,都有
fxTfxfx
,那么函数就叫做周期函数,非零常
数T叫做这个函数的周期.
-12-:.
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§、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
yAsinx
§、函数的图象
ysinxyAsinxb
1、能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变换关系.
2、对于函数:
2
yAsinxbA0,0Txf1
有:振幅A,周期,初相,相位,频率.
T2
§、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第二章、平面向量
§、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2、向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记作AB;长度为零的向量叫做零向量;长度等于1
个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.
§、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
-13-:.
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§、向量加法运算及其几何意义
1、、ab≤ab.
§、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
§、向量数乘运算及其几何意义
1、规定:实数与向量a的积是一个向量,:a,它的长度和方向规定如下:
⑴aa,⑵当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反.

2、平面向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.
§、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理:如果e,e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只
12
有一对实数,,使aee.
121122
§、平面向量的正交分解及坐标表示
axiyjx,y
1、.
§、平面向量的坐标运算
ax,y,bx,y
1、设,则:
1122
abxx,yyabxx,yyax,ya//bxyxy
⑴,⑵,⑶,⑷.
12121212111221
Ax,y,Bx,yABxx,yy
2、设,则:.
11222121
§、平面向量共线的坐标表示
Ax,y,Bx,y,Cx,y
1、设,则
112233

⑴线段AB中点坐标为x1x2,y1y2,⑵△ABC的重心坐标为x1x2x3,y1y2y3.
2233
§、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、ababcos.2、a在b方向上的投影为:acos.
222
3、a、a、abab0.
§、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、设ax,y,bx,y,则:
1122
⑴abxxyy⑵ax2y2⑶abxxyy0
1212111212
Ax,y,Bx,yABxx2yy2
2、设,则:.
11222121
-14-:.
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§、平面几何中的向量方法
§、向量在物理中的应用举例
第三章、三角恒等变换
§、两角差的余弦公式
coscoscossinsin
1、
2、记住15°的三角函数值:
sincostan
626223
1244
§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
coscoscossinsinsinsincoscossin
1、2、
sinsincoscossintantantan
3、4、.
1tantan
tantantan
5、.
1tantan
§、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、sin22sincos,变形:sincos1sin2.
2
2、cos2cos2sin22cos2112sin2,
1cos21cos2
变形1:cos2,变形2:sin2.
22
2tan
3、tan2.
2
1tan
§、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
必修5数学知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:
abc
2R.
sinAsinBsinC
2、余弦定理:
a2b2c22bccosA,
b2a2c22accosB,
c2a2b22abcosC.
-15-:.
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b2c2a2
cosA,
2bc
a2c2b2
cosB,
2ac
a2b2c2
cosC.
2ab
3、三角形面积公式:
111
SabsinCbcsinAacsinB
ABC222
第二章:数列
1、数列中a与S之间的关系:
nn
S,当n1时,
a1
nSS,当n1时.

nn1
2、等差数列:
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
⑵通项公式:aa(n1)d
n1
⑶求和公式:
aan
nn1
Snad1n
n122
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
⑵通项公式:aaqn1
n1

aaqa1qn
⑶求和公式:S1n1
n1q1q
第三章:不等式
当a,b0时,ab2ab
1、

当且仅当ab时取等号
当a,bR时,a2b22ab
2、

当且仅当ab时取等号
ab2a2b2

3、变形:ab,ab
22
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