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高中文科数学平面向量知识点整理
概念
向量:既有大小,:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):.
相等向量:长度相等且方向一样的向量.
相反向量:a=—bb=-aa+b=0
向量表示:几何表示法;字母a表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y)。向量的模:设,那么有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:.
(。)
零向量:=O|a|=O。
【例题】:(1)假设,那么。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点一样,终点一样。(3)假设,那么是平行四边形.(4)假设是平行四边形,那么。(5)假设,那么。(6)假设,那么。其中正确的选项是_______
(答:(4)(5))
,它们的夹角为,那么=_____
(答:);
2、向量加法运算:
-2-
⑴三角形法那么的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法那么的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:①交换律:;②结合律:;
③.
⑸坐标运算:设,,那么.
3、向量减法运算:
⑴三角形法那么的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,那么.
设、两点的坐标分别为,,那么.
【例题】
(1)①___;②____;
③_____(答:①;②;③);
(2)假设正方形的边长为1,,那么=_____
(答:);
(3)作用在点的三个力,那么合力的终点坐标是
(答:(9,1))
-3-
4、向量数乘运算:
⑴实数和向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向和的方向一样;
当时,的方向和的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,那么.
【例题】(1)假设M(—3,—2),N(6,—1),且,那么点P的坐标为_______
(答:);
5、向量共线定理:向量和共线,当且仅当有唯一一个实数,,,().
【例题】(1)假设向量,当=_____时和共线且方向一样
(答:2);
(2),,,且,那么x=______
(答:4);
6、向量垂直:.
【例题】(1),假设,那么
(答:);
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,那么点B的坐标是________
-4-
(答:(1,3)或(3,-1));
(3)向量,且,那么的坐标是________
(答:)
7、平面向量的数量积:
⑴.零向量和任一向量的数量积为.
⑵性质:设和都是非零向量,那么①.②当和同向时,;当和反向时,;或.③.
⑶运算律:①;②;③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,那么.
假设,那么,或.
设,,那么a⊥ba·b=0x1x2+y1y 2=0.
那么a∥ba=λb(b≠0)x1y2=x2y1.
设、都是非零向量,,,是和的夹角,那么;(注)
【例题】
(1)△ABC中,,,,那么
-5-
_________
(答:-9);
(2),和的夹角为,那么等于____(答:1);
(3),那么等于____(答:);
(4)是两个非零向量,且,那么的夹角为____
(答:)
(5),,假设和的夹角为锐角,那么的取值范围是______(答:或且);
(6)向量=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),=(-1,0)。(1)假设x=,求向量、的夹角;(答:150°);
8、在上的投影:即,它是一个实数,但不一定大于0.
【例题】,,且,那么向量在向量上的投影为______(答:)
平面向量高考经典试题
一、选择题
,,那么和
-6-
2、向量,假设和垂直,那么()
A. B. C.
3、假设向量满足,的夹角为60°,那么=______;
4、在中,是边上一点,假设,那么()
A. B. C. D.
假设O、E、F是不共线的任意三点,那么以下各式中成立的是()
A. B.
C。 D。
6、平面向量,那么向量( )
A. B.
C. D.
二、填空题
1、,那么实数的值是 .
-7-
2、假设向量的夹角为,,那么.
3、在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,,那么 .
三、解答题:
1、ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0).
(1)假设,求的值;
(2)假设,求sin∠A的值
2、在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)假设,且,求.
3、在中,,,求的面积.
4、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(Ⅰ)求B的大小;
-9-
(Ⅱ)假设,,求b.
5、在中,,.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)假设最大边的边长为,求最小边的边长.
答案
选择题
1、A。向量,,,那么和垂直.
2、C,由和垂直可得:
,。
3、解析:,
4、A在∆ABC中,D是AB边上一点,假设=2,=,那么
=,∴l=.
5、B由向量的减法知
6、D
填空题
1、解析:,,那么2+
-9-
λ+4+λ=0,实数=-3.
2、【解析】.
3、解析:
解答题
1、解:(1)
由得
(2)
2、解:(1)
又 解得.
,是锐角. .
(2), , .
又 . .
. .
3、解:由题意,得为锐角,,
,
由正弦定理得,.
-10-
4、解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)根据余弦定理,得.
所以,.
5、本小题主要考察两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识和推理和运算才能,总分值12分.
解:(Ⅰ),.
又,.
(Ⅱ),边最大,即.
又,角最小,边为最小边.
由且,
:.
所以,最小边.