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数学试题
〔总分值150分,考试时间120分钟〕
试题卷I
一、选择题〔此题有10小题,每题4分,,不选、多项选择、错选,均不给分〕
1.〔2023浙江温州,1,4分〕给出四个数-1,0,,,其中为无理数的是()
A.-.
【答案】D
2.〔2023浙江温州,2,4分〕数据35,38,37,36,37,36,37,35的众数是()
【答案】C
3.〔2023浙江温州,3,4分〕我国古代数学家利用“牟合方盖〞〔如图甲〕找到了球体体积的计算方法,“牟合方盏〞“牟合方盖〞的一种模型,它的主视图是()
【答案】B
4.〔2023浙江温州,4,4分〕一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标是()
A.(0,4)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,2)
【答案】A
5.〔2023浙江温州,5,4分〕把多项式a2-4a分解因式,结果正确的是()
(a-4)B.(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)D.(a-2)2-4
【答案】A
6.〔2023浙江温州,6,4分〕小林家今年1-5月份的用电量情况如下图,由图可知,相邻的两个月中,用电量变化最大的是().
【答案】B
7.〔2023浙江温州,7,4分〕⊙O1与⊙O2外切,O1O2=8cm.⊙O1的半径为5cm,那么⊙O2的半径是()
【答案】D
8.〔2023浙江温州,8,4分〕以下选项中,可以用来证明命题“假设a2>1,那么a>1”是假命题的反例是()
=-=-==2
【答案】A
9.〔2023浙江温州,9,4分〕楠溪江某景点门票价格:***票每张70元,,设其中有x张***票,y张儿童票,根据题意,以下方程组正确的是()
.
.
【答案】B
10.〔2023浙江温州,10,4分〕如图,在△ABC中,∠C=90,,沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,,Q两点同时出发,并同时到达终点,连结MP,MQ,,△MPQ的面积大小变化情况是()
【答案】C
卷Ⅱ
二、填空题〔此题有6小题,每题5分,共30分〕
11.〔2023浙江温州,11,5分〕化简:2(a+1)-a=.
【答案】
12.〔2023浙江温州,12,5分〕,那么这个旋转角的最小度数是度.
【答案】90
13.〔2023浙江温州,13,5分〕假设代数式的值为零,那么x=.
【答案】3
14.〔2023浙江温州,14,5分〕赵老师想了解本校“生活中的数学知识〞大赛的成绩分布情况,随机抽取了100份试卷的成绩〔总分值为120分,成绩为整数〕,,成绩不低于90分的共有人.
【答案】27
15.〔2023浙江温州,15,5分〕某校艺术斑同学,每人都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,,那么该班同学共有人〔用含m的代数式表示〕.
【答案】
16.〔2023浙江温州,16,5分〕如图,动点A在函数(x>0)⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=、y轴于点P,Q当QE∶DP=4∶9时,图中阴影局部的面积等于.
【答案】
三、解答题〔此题共8小题,、算步骤或证明过程〕
17.〔2023浙江温州,17,10分〕
(1)计算:;
【答案】
(2)解方程:.
【答案】配方,得,,
18.〔2023浙江温州,18,8分〕如图,在方格纸中,△PQR的三个顶点及A,B,C,D,,B,C,D,E中的三个点为顶点画三角形.
(1)在图甲中画出一个三角形与△PQR全等;
(2)在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.
【答案】
19.〔2023浙江温州,19,8分〕如图,△ABC中.∠B=90°,AB=6cm,BC=△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连结AD,求证:四边形ACFD是菱形.
【答案】
证法一:∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,∴AC=
CF=AD=10cm,DF=AC,∴AD=CF=AC=DF,∴四边形ACFD是菱形.
解法二:由平移变换的性质得AD∥CF,AD=CF=10cm,∴四边形ACFD是平行四边形.∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,∴AC=10cm,∴AC=CF,∴平行四边形ACFD是菱形.
20.〔2023浙江温州,20,9分〕一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个,它们除颜色外都相同,.
(1)求袋中红球的个数;
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率;
(3)取走10个球〔其中没有红球〕后,求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
【答案】(1),∴红球有30个.
(2)设白球有x个,那么黄球有〔2x-5〕,根据题意得x+2x-5=100-30,解得x=25.
∴摸出一个球是白球的概率.
(3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
21.〔2023浙江温州,21,9分〕某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l如图〕.救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,,,,再向B处游去,假设CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒,同谁先到达B处?请说明理由.
〔参考数据:sin55°≈,cos55°≈,tan55°≈〕
【答案】由题意得∠B=55°,∠BDC=90°,
∵tan∠BCD=,
∴.
∵,∴.
∴,.
∴.答:乙先到达B处.
22.〔2023浙江温州,22,10分〕如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上的一点,且∠A=2∠,以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)假设CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长.
【答案】
〔1〕证明:连接OD,∵∠DOB=2∠DCB,又∵∠A=2∠DCB,∴∠A=∠DOB.
又∵∠A+∠B=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠BDO=90°,∴OD⊥AB,∴AB是⊙O的切线.
(2)解法一:过点O作OM⊥CD于点M,
∵,∠BDO=90°,∴∠B=30°,∴∠DOB=60°,∴∠DCB=30°,
∴OC=2OM=2,∴OD=2,BO=4,∴BD=.
解法二:过点O作OM⊥CD于点M,连接DE,∵OM⊥CD,∴CM=∵OC=OE,∴DE=2OM=2.
∵Rt△BDO中,OE=BE,∴DE=BO,∴BO=4,∴OD=OE=2,∴BD=.
23.〔2023浙江温州,23,12分〕温州享有“中国笔都〞之称,,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,.
当n=200时,
根据信息填表:
A地
B地
C地
合计
产品件数〔件〕
200
运费〔元〕
30
②假设运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,那么有哪几种运输方案?
(2)假设总运费为5800元,求n的最小值.
【答案】
解:(1)①根据信息填表:
②由题意得,解得.
∵x为整数,∴x=40或41或42,
∴有3种方案,分别为:
(i)A地40件,B地80件,C地80件;
(ii)A地41件,B地77件,C地82件;
(iii)A地42件,B地74件,C地84件.
由题意得30x+8(n-3x)+50x=5800,整理得n=725-7x.
∵n-3x≥0,∴x≤
又∵x≥0,∴0≤x≤
∵n随x的增大而减少,∴当x=72时,n有最小值为221.
24.〔2023浙江温州,24,14分〕如图,经过原点的抛物线y=-x2+2mx(m>0)(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,(B,C不重合).连结CB,CP.
(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;
(2)当m>1时,连结CA,问m为何值时CA⊥CP?
(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?假设存在,求出所有满足要求的m的值,并写出相对应的点E坐标;假设不存在,请说明理由.
【答案】
解:(1)当m=3时,y=-x2+6x,令y=0,得-x2+6x=0,x1=0,x2=6,∴A(6,0).
当x=1时,y=5,∴B(1,5).∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,又∵B,C关于对称轴对称,∴BC=4.
(2)过点C作CH⊥x轴于点H〔如图1〕,由得∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PBC,又∵∠AHC=∠PBC=90°,∴△ACH∽△PCB,∴.∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,又∵B,C关于对称轴对称,∴BC=2(m-1),∵B〔1,2m-1〕,P〔1,m〕,∴BP=m-1,又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),∴H(2m-1,0),∴AH=1,CH=2m-1,∴,∴.
(3)∵B,C不重合,∴m≠1.
(I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1,
(i)假设点E在x轴上〔如图1〕,∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,∴∠BPC=∠∵∠CBP=∠PME=90°,PC=EP,∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM,∴2(m-1)=m,∴m=2,此时点E的坐标是〔2,0〕.
(ii)假设点E在y轴上〔如图2〕,过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,∴BP=PN=OM=1,∴m-1=1,∴m=2,此时点E的坐标是〔0,4〕.
(II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,
(i)假设点E在x轴上〔如图3〕,易证△BPC≌△MEP,∴BC=PM,∴2〔1-m〕=m,∴,此时点E的坐标是〔〕.
(ii)假设点E在y轴上〔如图4〕,过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,∴BP=PN=OM=1,∴1-m=1,∴m=0〔舍去〕.
综上所述,当m=2时,点E的坐标是〔2,0〕或〔0,4〕;∴,点E的坐标是〔〕.