文档介绍：该【MXT-高中数学-椭圆 】是由【大于振】上传分享，文档一共【23】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【MXT-高中数学-椭圆 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。椭圆
◆高考导航·顺风出发◆
最新考纲常有题型
、几何图形、标准方程及简单几何
高考对性质的观察多以选择、填空为
性质(范围、对称性、极点、离心率).
主、难度较大,综合问题以大题为主、
.
中、~13分
.
[知识梳理]
平面内到两个定点F1,F2
的距离之和等于常数
(大于|F1F2
|)的点的会集叫作
椭圆
.这
两个定点F1,F2叫作椭圆的
焦点
,两焦点F1,F2的距离叫作椭圆的
焦距.
会集P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若
a>c
,则会集P为椭圆;
(2)若
a=c
,则会集P为线段;
(3)若
a<c
,则会集P为空集.
2
2
2
2
标准方程
x2+y2=1(a>b>0)
y2+x2=1(a>b>0)
a
b
a
b
图形
范围
-a≤x≤a-b≤y≤b
-b≤x≤b-a≤y≤a
对称性
对称轴:
坐标
轴
对称中心:
原点
A(-a,0),A(a,0)
A(0,-a),A
(0,a)
极点
1
2
1
2
B1(0,-b),B2(0,b)
B1(-b,0),B2(b,0)
性
质
轴
长轴A1A2的长为2a
;短轴B1B2的长为
2b
焦距
|F1F2|=
2c
c
离心率
e=a∈(0,1)
a,b,c的关系
a2=b2+c2
[知识感悟]
>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|其轨迹为线段F1F2,当2a
<|F1F2|不存在轨迹.
,而直接设方程为
x2y2
,在设椭圆a2+b2=1(a>b>0)上点的坐标为
x2y2
a2+b2=1(a>b>0).
P(x,y)时,|x|≤a,这
常常在求与点P相关的最值问题中特别适用,也是简单被忽略而以致求最值错误的原因.
[知识自测]
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴
长,c为椭圆的半焦距).()
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()
2
+x
2
(5)
y2
2=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.()
a
b
2
+y
2
2
2
(6)
x2
2=1(a>b>0)与y2+x2=1(a>b>0)的焦距相等.()
a
b
a
b
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√
(5)×
(6)√
x2
+y2=1(m>0)的左焦点为F1
)
25
m2
(-4,0),则m=(
[解析]
由题意知
25-m2=16,解得m2=9,又m>0,因此m=3.
[答案]
B
1
(1,0),离心率为2,则椭圆的标准方程为______.
[解析]
设椭圆的标准方程为
x2
y2
a
2+
2=1(a>b>0).
b
由于椭圆的一个焦点为
F(1,0),离心率e=
1,
2
c=1,
c1
a=2c=2,
x2
y2
因此
a=2,
解得b2=3,
故椭圆的标准方程为
4+
3=1.
a2=b2+c2,
[答案]
x2+y2=1
4
3
题型一椭圆的标准方程(基础拿分题,自主练透)
(1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一
个焦点和一个极点,则该椭圆的标准方程为()
+y2=+y2=1
545
x2x2y2
+y2=1或4+5=
[解析]直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),
由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,
a2=5,所求椭圆的标准方程为x2+y2=
当焦点在y轴上时,b=2,c=1,∴a2
y2
x2
=5,所求椭圆的标准方程为
5+
4=1.
[答案]C
(2)一个椭圆的中心在原点,焦点
F1,F2在x轴上,P(2,
3)是椭圆上一点,且
|PF1|,
|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为
()
x2
+y2
=1
6
+y2
=1
4
2
[解析]
设椭圆的标准方程为
x2y2
B.+=1
22xy
x2y2
a2+b2=1(a>b>0).
由点P(2,3)在椭圆上知a42+b32=1.
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
43
a2+b2=1,
即2a=2×2c,ca=12,又c2=a2-b2,联立c2=a2-b2,
c1
a=2
2
即a2=8,b2=6,故椭圆方程为x8+y6=1.
[答案]A
方法感悟
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
依照椭圆的定义,确定
a2,b2的值,结合焦点地址可写出椭圆方程
若焦点地址明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出
a,b;若焦
待定系数法
点地址不明确,则需要分焦点在
x轴上和
y轴上两种情况谈论,也可设椭圆
的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)
【针对补偿】
2
2
1.(2018奉·贤调研)设椭圆x2+y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,上极点为B,
a
b
若|BF2|=|F1F2|=2,则该椭圆的方程为(
)
x2
y2
x2
+
3=1
+y2=1
2
2
+y2=1
+y2=1
2
4
[解析]
由|BF2|=|F1F2|=2,得a=2,2c=2,即c=1,因此b2=a2-c2=4-1=3,因此
该椭圆方程为
x2
y2
+
=1.
4
3
[答案]
A
1
,焦点在
x轴上,若椭圆C的离心率等于
2,且它的一个极点
恰好是抛物线
x2=83y的焦点,则椭圆
C的标准方程为______.
x2
y2
[解析]
由题意设椭圆的方程为
a2+b2=1(a>b>0).
由题设知抛物线的焦点为(0,2
3),因此椭圆中b==c=1,因此a=2c,又
a
2
a2-b2=c2,联立解得c=2,a=4,因此椭圆C的标准方程为x2+y2=1.
1612
[答案]
x2
+y2
=1
16
12
题型二
椭圆的定义及应用
(重点保分题,共同商议)
(1)(2018
·济南模拟
)以下列图,一圆形
纸片的圆心为O,F是圆内必然点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使
抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(
)
M与
F重合,尔后
[解析]由条件知|PM|=|PF|.
|PO|+|PF|=|PO|+|PM|
|OM|=R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.
[答案]A
x2
y2
→
(2)已知F1,F2是椭圆C:2+
2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥
a
b
△PFF
的面积为
9,则b=______.
→
2
12
r1+r2=2a,
[解析]
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则22
2
r1+r2
=4c,
2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2,
又∵S△PF1F2=1r1r2=b2=9,∴b=3.
2
[答案]3
方法感悟
椭圆定义的应用技巧
经过对题设条件解析、转变后,能够明确动点P满足椭圆的定义,即可直接求解
求方程
其轨迹方程
、
三角形
|PF1
2
|=2a两边平方是常用技巧
|+|PF
抓住|PF1
2
|之和为定值,可联系到基本不等式求
1
2
|的最值;利用定义
求最值
|与|PF
|PF|·|PF
|PF1|+|PF2|=2a转变或变形,借助三角形性质求最值
【针对补偿】
x2
+y2=1的左、右焦点分别为
F1,F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最
8
大值是(
)
2
2
|PF|+|PF
|2
[解析]
1
2
|=2a=4
1
2
|≤
1
2
=8(当
由椭圆的定义得,|PF|+|PF
2,∴|PF
|·|PF
2
且仅当|PF1
2
|=|PF|时取等号).
[答案]
A
2
2
1
2
x
+y=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1
2
=45
12
,F
是椭圆9
7
F
°,则△AFF
的面积为(
)
7
7
7
5
D.
2
[解析]
由题意得a=3,b=7,c=
2,
|F1F2|=22,|AF1|+|AF2|=6.
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos45=°|AF1|2-4|AF1|+8,∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
7
∴|AF1|=2.
∴△AF1F2的面积
1
7
×2
2
7
S=
×
2×
=.
2
2
2
2
[答案]
C
题型三
椭圆的几何性质(高频考点题,多角打破
)
考向一
利用性质求方程
x2y2
3
,若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半
a
2+
2=1(a>b>0)的离心率为
3
b
径的圆与直线
y=x+2相切,则椭圆的标准方程为
______.
[解析]
由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线
y=x+2相切,得b=2=
2
2.
又离心率为
3
,因此a2=3c2=3(a2-2),得a=
3,
3
22
xy
故椭圆的标准方程为+=1.
32
[答案]
x2y2
3+2=1
考向二
利用方程研究性质
x2y2
a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆
x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为
8,则椭圆的左极点为
(
)
A.(-3,0)
B.(-4,0)
C.(-10,0)
D.(-5,0)
[解析]
由于圆的标准方程为
(x-3)2+y2=1,
因此圆心坐标为
(3,0),因此
c=3.
又b=4,因此a=b2+c2=5.
由于椭圆的焦点在x轴上,
因此椭圆的左极点为(-5,0).
[答案]
D
考向三
利用性质求参数(范围)
x2
y2
+
=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于()
3.(2018泉·州质检)已知椭圆m-2
10-m
x2
y2
[解析]
∵椭圆m-2
+
10-m=1的长轴在x轴上,
m-2>0,
∴10-m>0,解得6<m<10.
m-2>10-m,
∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
[答案]
A
考向四
利用性质求离心率的值
(范围)
2
2
4.(2017课·标Ⅲ)已知椭圆C:x2
+y2=1(a>b>0)的左、右极点分别为
A1,A2,且以线段
a
b
A1A2为直径的圆与直线
bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(
)
6
3
2
1
[解析]
1
2
2
以线段AA为直径的圆的圆心为坐标原点
(0,0),半径为r=a,圆的方程为x
+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0与圆相切,因此圆心到直线的距离等于半径,
即:d=
2ab
a2+b2
2
2,椭圆的离心率
e=c=
=a,整理可得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),2a2=3c2,从而e2=c2=
a
3
a
2=6,应选A.
33
[答案]
A
考向五
利用性质解决最值问题
5.(2017合·肥质检)如图,焦点在
x轴上的椭圆
x2
y2
1
+
2=1的离心率
e=,F,A分别是
4
b
2
→→
的最大值为______.
椭圆的一个焦点和极点,P是椭圆上任意一点,则PF
·PA
[解析]设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,
由于e=ac=12,因此c=1,b2=a2-c2=3.
22
xy
故所求椭圆方程为+=1.
43
因此-2≤x0≤2,-3≤y0≤3.
由于F(-1,0),A(2,0),
→→
PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0),
→→
2
0
2
12
0
因此PF
·PA
=x0
0
=
0
+1
-x
-2+y
4x
-x
1
-2)
→→
=4(x0
=-2时,PF·PA获取最大值4.
[答案]
4
方法技巧
与椭圆几何性质相关的问题要结合图形进行解析,即使画不出图形,思虑时也要联想到一个图形.
(2)-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,在
求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.
(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转变成含有e
的方程(或不等式)求解.
【针对补偿】