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3、1张量代数运算
在§1、5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同
阶张量
(1、5-10)定义零张量与加法逆元素。则同阶张量得加减
,(1、5-7)、(1、5-8)式给出了张量
(同阶)得加法运算与张量得数乘运算。若按(1、5-9)、
运算按:
(3、1-1)
定义。而数乘运算按:
(3、1-2)
定义。
按(3、1-1)与(3、1-2)式容易得出:
(3、1-3)
张量间得运算除加法、减法运算与数乘运算外,还可以
定义乘法运算。但应当特别注意得就是张量间得乘法运算
有多种按不同法则定义得乘法运算。这一点在矢量乘法
运算中表现为矢量与矢量得点乘与叉乘(矢量本身就就是
一阶张量)。因此谈到张量(不一定就是同阶张量)间得
乘法运算必须指明就是什么法则定义得乘法运算。
张量积:设张量
;则A与B得张量积按:
(3、1-4)
定义。由定义可以瞧出AB与BA都就是m+n阶张量。且一般
AB≠BA(两张量得张量积一般不满足交换律)。对任一
组给定得i1,…,im;j1,…,jn值,
都就是确定得实数。
记
。则:
(3、1-4a)
张量间得张量积运算有如下性质:
1、
(3、1-5)
2、
(3、1-5a)
(证明由读者自行完成)
r点乘(积):设
A、B张量得r点乘:
。则定义
(3、1-6)
当m=n=r时,
称为A全点乘B。且记为:
(3、1-7)
由定义(3、1-6)式可知:
(3、1-8)
但必须注意一般情况下:
(3、1-9)
由(3、1-4a)与(3、1-6)式给出得就是任意阶张量间得张量
积与r点乘定义。而在处理实际物理与数学问题时,更常
见得就是一阶与二阶张量得张量积与r点乘得情况。
设u、v就是一阶张量(矢量)。A、B、C就是二阶张量。则:
一阶张量与一阶张量得张量积:
(3、1-10a)
二阶张量与一阶张量得张量积:
(3、1-10b)
一阶张量与二阶张量得张量积:
(3、1-10c)
二阶张量与二阶张量得张量积:
(3、1-10d)
一阶张量(全)点乘:
(3、1-10e)
一阶张量与二阶张量得(一)点乘:
(3、1-10f)
二阶张量与一阶张量得(一)点乘:
(3、1-10g)
二阶张量与二阶张量得(一)点乘:
(3、1-10h)
二阶张量与二阶张量得(双)点乘:
(3、1-10i)
四阶张量与二阶张量得(双)点乘:
(3、1-10j)
二阶张量与四阶张量得(双)点乘:
(3、1-10k)
由(3、1-10e)、(3、1-10f)、(3、1-10g)、(3、1-10j)、
(3、1-10k)定义单位矢量(一阶单位张量)、二阶单位张
量与四阶单位张量。即满足:
(3、1-11)
得
分别称为一阶单位张量、二阶单位张量与四
阶单位张量。
上式定义得一阶、二阶与四阶单位张量具有性质:
1、
2、
(3、1-12)
且记
为
。即
。并称
为单位二阶张量。
3、
(3、1-13)
且记
为
。即
。并称
为单位二阶
张量。
证:
1、
对任意
∴
2、
设存在另一二阶张量
∵
∴
3、
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
,且满足
。则:
(唯一性)
例1:
如图3-1所示刚体Ω以角速度ω(ω就是对刚体整体运动得
述量。ω与r无关。即对刚体上得任意点而言刚体得角速
度都就是ω)。物体点r处得密度为ρ(r);速度矢量为u(r)
。则处微分体积dV所包含质量ρ(r)dV对o点动量矩为:
Ω
r
o
i2
i3
i1
图3-1
试证明物体Ω对o点得动量矩为:
式中
称为物体Ω
对o点得二阶惯性矩张量(注:J
不就是四阶单位张量。但J表达式中得
I就是二阶单位张量)。
证:
10
大家应该也有点累了,稍作休息
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