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圆的总结
圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。
一集合:
圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行
外离(图1)无交点d>R+r
外切(图2)有一个交点d=R+r
相交(图3)有两个交点R-r<d<R+r
内切(图4)有一个交点d=R-r
内含(图5)无交点d<R-r
四垂径定理:
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②AB⊥CD③
CE=DE④⑤
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD
五圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论也即:①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④
六圆周角定理
圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即:∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧
即:在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵∠C=90°
∴∠C=90°∴AB是直径
推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
即:在△ABC中,∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°
∠DAE=∠C
八切线的性质与判定定理
(1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
九圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD中进行,OD:BD:OB=
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt△OAE中进行,OE :AE:OA=
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB:OB:OA=
十、圆的有关概念
1、三角形的外接圆、外心。→用到:线段的垂直平分线及性质
2、三角形的内切圆、内心。→用到:角的平分线及性质
3、圆的对称性。→
十一、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2r,l=