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函数的对称轴
一、目标认知
学****目标:
1、函数的对称性及对称轴
2、奇偶性周期性、对称性与对称轴的关系
重点:
理解对称轴、周期性、对称性的关系
难点:
掌握抽象函数对称性的判定及应用以及函数对称轴的应用;
二、知识要点梳理
(一)、函数图象本身的对称性(自身对称)
1、函数的图象关于直线(T为常数)
对称的充要条件是
2、函数的图象关于直线(T为常数)
对称的充要条件是
3、函数的图象关于直线
对称的充要条件是
4、函数的图象关于点
对称的充要条件是
5、函数的图象关于点
对称的充要条件是
6、函数的图象关于点
对称的充要条件是
(二)、奇偶性、单调性、周期性的关系
1、奇偶性、单调性、周期性
(1)奇偶性是特殊的对称性,即奇偶性能推出对称性,对称性推不出奇偶性。
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点关于点的对称点
点关于直线的对称点
点关于直线的对称点
点关于直线的对称点
2、与关于X轴对称。
与关于Y轴对称。
与关于直线对称。
与直线关于对称。
与关于点对称。
与关于对称。
(四)、二次函数对称轴典型问题
二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值,此类问题与区间和对称轴有关,一般分为三类:
①定区间,定轴;②定区间,动轴,
③动区间,,合理地进行分类讨论,特别要注意二次项系数是否为0.
1、第一类问题二次函数中的动轴定区间
例1已知函数在区间[0,1]上的最大值是2,求实数的值。
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2、第二类问题二次函数中的定轴动区间
例2函数f(x)=在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值记为g(t).
(1)求g(t)的解析式;(2)求g(t)的最大值
3、第三类动轴动区间
例3求函数在区间上的最大值。
例4、对一切实数满足,
若方程恰好有4个不同的实根、则这些实根之和为_________
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(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x,则f()=_________
例6:定义在R上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是________(奇函数or偶函数),_______(是or不是)周期函数。
例7:函数满足条件和,若
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,,且在[5,9]上单调,则的值为_________
例8:设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,若g(5)=1999,那么f(4)=_______
例9:已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)=f(4-x),f(7+x)=f(7-x),f(0)=0,
求在区间[-1000,1000]上f(x)=0至少有几个根?
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【练****题】
1、定义在实数集上的奇函数恒满足,且时,,则________。
2、已知函数满足,则图象关于__________对称。
3、函数与函数的图象关于关于__________对称。
4、设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。
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5、的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。
6、设的定义域为R,且对任意,有,则图象关于__________对称,关于__________对称。
7、已知函数对一切实数x满足,且方程有5个实根,则这5个实根之和为_________
8、设函数的定义域为R,则下列命题中,①若是偶函数,则图象关于y轴对称;②若是偶函数,则图象关于直线
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对称;③若,则函数图象关于直线对称;④与图象关于直线对称,其中正确命题序号为_______。
9、已知偶函数定义域为R,且恒满足,若方程在上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间中的根.
10、设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f()=_________
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