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函数的奇偶性
【学****目标】
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【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数.
奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数.
要点诠释:
(1)奇偶性是整体性质;
(2)x在定义域中,那么-x在定义域中吗?----具有奇偶性的函数,其定义域必定是关于原点对称的;
(3)f(-x)=f(x)的等价形式为:,
f(-x)=-f(x)的等价形式为:
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若,则既不是奇函数,也不是偶函数;
若且=-,则既是奇函数,又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断与之一是否相等.
(2)验证法:在判断与的关系时,只需验证=0及是否成立即可.
(3)图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(轴)对称.
(4)性质法:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(5)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时,,对自变量的不同取值范围,有着不同的对应关系,,,然后判断
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,然后将它代入相应段的函数表达式中,与对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是减函数(增函数).
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
:
(1);(2)f(x)=x2-4|x|+3;
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|;(4);
(5);(6)
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
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【答案】(1)非奇非偶函数;(2)偶函数;(3)奇函数;(4)奇函数;(5)奇函数;(6)奇函数.
【解析】(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;
(2)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;
(3)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(4)
,∴f(x)为奇函数;
(5)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(6),∴f(x)为奇函数.
【总结升华】,因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则,即优先研究函数的定义域,(4)中若不研究定义域,在去掉
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的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1); (2); (3);
(4).
【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)非奇非偶函数;(4)奇函数.
【解析】(1)的定义域是,
又,是奇函数.
(2)的定义域是,
又,是偶函数.
(3)
,∴为非奇非偶函数.
(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0,则-x>0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时,f(0)=-f(0)∴x∈R时,f(-x)=-f(x)
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∴f(x)为奇函数.
【高清课堂:函数的奇偶性356732例2(1)】
【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
证明:设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂:函数的奇偶性356732例2(2)】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论
恒成立的是().
A.+|g(x)|是偶函数B.-|g(x)|是奇函数
C.||+g(x)是偶函数D.||-g(x)是奇函数
【答案】A
,若对于任意实数都有,判断的奇偶性.
【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数,都有,可以令
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为某些特殊值,得出.
设则,.
又设,则,
,是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性,,由于需要判断与之间的关系,因此需要先求出的值才行.
举一反三:
【变式1】已知函数,若对于任意实数,都有,判断函数的奇偶性.
【答案】偶函数
【解析】令得,令得
由上两式得:,即
是偶函数.
类型二、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
(x),g(x)均为奇函数,在上的最大值为5,则在(-)上的最小值为.
【答案】-1
【解析】考虑到均为奇函数,联想到奇函数的定义,不妨寻求
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与的关系.
+=
,
.
当时,,
而,,
在上的最小值为-1.
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义,其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数,从这个思路出发,:时,的最大值为5,时的最大值为3,时的最小值为-3,时,的最小值为-3+2=-1.
举一反三:
【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).
【答案】-26
【解析】法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
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