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五年级奥数讲义30讲全
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五年级奥数
第1讲数字迷(一)
第16讲巧算24
第2讲数字谜(二)
第17讲位置原则
第3讲定义新运算(一)
第18讲最大最小
第4讲定义新运算(二)
第19讲图形的切割与拼接
第5讲数的整除性(一)
第20讲多边形的面积
第6
讲数的整除性(二)
第21讲用等量代换求面积
第7
讲奇偶性(一)
第22用割补法求面积
第8
讲奇偶性(二)
第23讲列方程解应用题
第9
讲奇偶性(三)
第24讲行程问题(一)
第10讲质数与合数
第25讲行程问题(二)
第11讲分解质因数
第26讲行程问题(三)
第12
讲最大条约数与最小公倍数(一)
第27
讲逻辑问题(一)
第13
讲最大条约数与最小公倍数(二)
第28
讲逻辑问题(二)
第14
讲余数问题
第29
讲抽屉原理(一)
第15
讲孙子问题与逐步拘束法
第30
讲抽屉原理(二)
-2-
第1讲数字谜(一)
例1把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式建立(每个运算符号只准使用一次):(5○13○7)○(17○9)=12。
例2
将1~9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式建立:□□□×□□=□□×□□=5568。
例3
在443后边添上一个三位数,使得到的六位数能被
573整除。
例4已知六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数。
例5在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适合的数字代替字母,使加法竖式建立。
FORTYTEN
TEN
SIXTY
例6在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字。请你填上适合的数字,使竖式建立。
练****1
,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数。
在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。请你用适合的数字代替字母,使竖式建立:
(1)AB(2)ABAB
+BCA-ACA
ABCBAAC
在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
在下面的算式中填上若干个(),使得等式建立:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=。
~9分别填入下式的□中,使等式建立:□□×□□=□□×□□□=3634。
六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数。
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□□888是83的倍数,求这个六位数。
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-3-
第2讲数字谜(二)
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相
例2在□内填入适合的数字,使左下方的乘法竖式建立。
□□□
81
□□□
□□□
□□□□□
例3左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适合的数字,使除法竖式建立。
8□
)□□□□□□
□□□□
□□□
□□□
□□□□
□□□□
0
例4在□内填入适合数字,使小数除法竖式建立。
例4图例5图
例5一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式(1),这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式(2),求这个五位数。
练****2
,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,求出abcd及abcxyz
(1)1abcd×3=abcd5(2)7×abcxyz=6×xyzabc
:□内填入适合的数字,使下列小数除法竖式建立:
□8□7□.□□□□□
□□)□□□□□□□.□)□□□.□□)□.□
□□□□□□□□□
□□□8□□□□□
□□□□□□□□□
□□00
□□
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0
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第3讲定义新运算(一)
例1关于任意数a,b,定义运算“*”:a*b=a×b-a-b。求12*4的值。
例2已知a△b表示a的3倍减去b的1,比如根据以上的规定,求10
2
△6的值
3,x>=2,求x的值。
例6
关于任意自然数,定义:n!=1×2××n。
比如4!=1×2×3×4。那么1!+2!+3!++100!的个位数字是几?
例7
如果m,n表示两个数,那么规定:m¤n=4n-(m+n)÷2。
求3¤(4¤6)¤12的值。
练****3
关于任意的两个数a和b,规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
,求134的值。
(a-b)÷(a+b),试计算:(53)(106)。
规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和,求8◎2的值。
◇n表示m的3倍减去n的2倍,即m◇n=3m-2n。
(2)已知x◇(4◇1)=7,求x的值。
关于任意的两个数P,Q,规定P☆Q=(P×Q)÷4。比如:2☆8=(2×8)÷4。
已知x☆(8☆5)=10,求x的值。
8.
定义:a△b=ab-3b,ab=4a-b/a。计算:(4△3)△(2
b)。
9.
已知:23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,求(4
4)÷(3
3)的值。
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第4讲定义新运算(二)
例1已知a※b=(a+b)-(a-b),求9※2的值。例2定义运算:a⊙b=3a+5ab+kb,
其中a,b为任意两个数,k为常数。比方:2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
(1)已知5⊙2=73。问:8⊙5与5⊙8的值相等吗?
(2)当k取什么值时,关于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,即新运算“⊙”切合互换律?
例3对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大条约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)。比方,10和14的最小公倍数是70,最大条约数是2,那么10☆14=70-2=68。
(1)求12☆21的值;(2)已知6☆x=27,求x的值。
例4a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转。定义
运算“◎”表示“接着做”。求:a◎b;b◎c;c◎a。
例5对任意的数a,b,定义:f(a)=2a+1,g(b)=b×b。
(1)求f(5)-g(3)的值;
(2)求f(g(2))+g(f(2))的值;
(3)已知f(x+1)=21,求x的值。
练****4
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“※”和“△”如下:a※b表示a,b两数中较小的数的
3倍,
a△b表示
a,b
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。比方:4※5=4×3=12,4△5=5×=
。
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计算:[(※)+(△)]÷[(※)-(△)]。
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设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=(A×m-n)÷4,
并且2⊙3=。试确定常数A,并计算:(5⊙7)×(2⊙2)÷(3⊙2)。
,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动:a表示顺时针旋转
240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转。运算“∨”表示“接着做”。试以a,b,c
为运算对象做运算表。
6.
对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab。比方7
3=1,5
29=4,
420=0。(1)计算:19982000,(519)19,5(19
5);
(2)已知11x=4,x小于20,求x的值。
7.
关于任意的自然数a,b,定义:f(a)=a×a-1,g(b)=b÷2+1。
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(1)求f(g(6))-g(f(3))的值;(2)已知f(g(x))=8,求x的值。
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第5讲数的整除性(一)
、:如果a、b、c是整数并且b0,ab=c则称a能被b整除或许b能
整除a,记做ba,否则称为a不能被b整除或许b不能整除a,记做b|a.
2、性质(1)如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。
(2)如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的
自然数的乘积整除。
(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数起码能整除这两个自然数中的一个。
(5)几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特点
1、被2整除特点:个位上是0,2,4,6,82、被5整除特点:个位上是5,0
3、能被3或9整除的数的特点是:各个数位的数字之和是3或9的倍数
4、被4、25整除的数的特点:一个数的末2位能被4、25整除
5、被8、125整除的数的特点:一个数的末3位能被8、125整除
6、被7整除的数的特点:若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差
是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍旧太大不能直接察看出来,就重复此过程。
7、能被11整除的数的特点:把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起
来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
比如:判断491678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和
4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特点:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,
如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果数字仍旧太大不能直接察看出来,就重复此过
程。如:判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=**********+0×4=12844
1284+4×4=13001300÷13=100所以,1284322能被13整除。
9、被7、11、13整除特点:末三位与末三位之前的数之差(大数-小数)能被7、11、13整除,如
果数字仍旧太大不能直接察看出来,就重复此过程。
比如:判断556584能不能被7整除末三位584末三位之前的数556,
584-556=2828能被7整除,所以556584能被7整除
10、能被17整除的数的特点:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的5倍,
如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果数字仍旧太大不能直接察看出来,就重复此过程。
11、能被19整除的数的特点:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍,
如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果数字仍旧太大不能直接察看出来,就重复此过程
例1在□里填上适合的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除。
例2由2000个1组成的数11111可否被41和271这两个质数整除?
例3有四个数:76550,76551,76552,76554。能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除?例4在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些?
例5能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
练****5
已知4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数?
如果两个数的和是64,这两个数的积能够整除4875,那么这两个数的差是多少?
□是个四位数。数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次
能够被9,11,6整除。”问:数学老师先后填入的3个数字之和是多少
4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。要求ab能被2整除,abc能被3整除,abcd能被4整除,abcde是5的倍数,abcdef是6的倍数。这样的六位数有几个?各是多少?
红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分,总分A95B,这个班有多少名学生?
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,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
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第6讲数的整除性(二)
特殊的数——1001。因为1001=7×11×13,所以凡是1001的整数倍的数都能被7,11和13整除。
例2判断306371可否被7整除?可否被13整除?例3已知10□8971能被13整除,求□中的数。
例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。
例5如果41位数555□999能被7整除,那么中间方格内的数字是几?
︸︸
20个20个
判断一个数可否被27或37整除的方法:
关于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分红若干节,然后将每一节上的数
连加,如果所得的和能被27(或37)整除,那么这个数一定能被27(或37)整除;否则,这
个数就不能被27(或37)整除。
例6判断下列各数可否被27或37整除:(1)2673135;(2)8990615496。
判断一个数可否被个位是9的数整除的方法:
为了表达方便,将个位是9的数记为k9(=10k+9),其中k为自然数。
关于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的(k+1)倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除;否则,这个数就不能被k9整除。
例7(1)判断18937可否被29整除;(2)判断296416与37289可否被59整除。
练****6
下列各数哪些能被7整除?哪些能被13整除?
88205,167128,250894,396500,
675696,796842,805532,75778885。
□62是13的倍数。□中的数字是几?
3、已知七位数132A679是7的倍数,求A?
4、六位数ababab可否被7和13整除?
5
、12位数aabbaabbaabb可否被7和13整除?
、333□888能被13整除,求中间□中的数?
个20个
九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数。
在下列各数中,哪些能被27整除?哪些能被37整除?
1861026,1884924,2175683,2560437,11159126,131313555,266117778。
在下列各数中,哪些能被19整除?哪些能被79整除?
55119,55537,62899,71258,186637,872231,5381717。
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第7讲奇偶性(一)
整数按照能不能被2整除,能够分为两类:
(1)能被2整除的自然数叫偶数,比如0,2,4,6,8,10,12,14,16,
(2)不能被2整除的自然数叫奇数,比如1,3,5,7,9,11,13,15,17,
整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除,所以偶数能够表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整
除,所以奇数能够表示为2n+1的形式,其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质:
(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇
数。反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇
数,这两个数肯定是一奇一偶。
(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或
差)是偶数。
(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那
么积就是奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中起码有一个是偶数;如果若
干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。
(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。奇数
肯定不能被偶数整除。
(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。
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因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;
2222
(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。
(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个
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整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决很多与奇偶性相关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,比如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只需想办法编上号码,成为整数问题,便可
利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数仍是偶数?1+2+3+4++1997+1998。
例2可否在下式的□中填上“+”或“-”,使得等式建立?1□2□3□4□5□6□7□8□9=36。
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例3
任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的次序任意改变,得到一个新的五位数。那么,这两个五位数的和能不能等于99999?
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例4在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相屡次握手。请问:握过奇数次手的人数是奇数仍是
偶数?请说明原因。
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