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第一章三角形的初步认识
一、三角形的基本观点
三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形。
二、三角形的分类:
1。按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形(定义,差别)。
:不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
三、三角形的基天性质
°。
(由两点之间线段最短获得).
三角形的任何两边的差小于第三边
三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。
应用:知两条确立第三条范围;知三条判断可否构成三角形;知四条及以上
:由三角形一条边的延伸线和另一条相邻的边构成的角.
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和(教材P7做一做)。
四、几条重要的线
1。三角形的角均分线:一个角的均分线与这个角的对边订交,这个角的极点和
对边中点;三条角均分线都在三角形内且订交于一点;等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α;
:连结一个极点和它对边的中点的线段;三条中线都在三角形内且订交于一点;等量关系
式AP=BP=二分之一AB。等积三角形;周长差三角形
3。三角形的高;从三角形的一个极点向它对边所在的直线作垂线段.
锐角三角形的三条高在三角形的内部订交于一点。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合,三条高在三角形的直角极点处订交于一点。
钝角三角形中,夹钝角两边上的高都在三角形的外面,三条高在三角形的外面订交于一点.
会带来面积问题、直角、直角三角形
线段的垂直均分线(中垂线):垂直并均分一条线段的直线。
中垂线性质:线段的中垂线上的点到线段两头点的距离相等.
逆定理:到线段两头的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上。
角均分线的性质定理:角均分线上的点到角两边的距离相等。
逆定理:角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的均分线上。
五、全等三角形
1。全等图形:能够完整重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形;
全等三角形:能够完整重合的两个三角形。
3。对应极点:能够相互重合的极点;
对应边:相互重合的边;有公共边的,公共边必定是对应边;
对应角:相互重合的角。有公共角的,角必定是对应角;有对顶角的,对顶角必定是对应角;
性质定理:全等三角形的对应角相等,对应边相等。注意“对应"二字.
4。全等三角形的判断条件
SSS—-三边对应相等的两个三角形全等;
SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等;
ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等;AAS——两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。问题:为何SSA不可以够判断?
HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
用符号≌表示两个三角形全等时,往常把对应极点的字母写在对应的地点上。
(二)灵巧运用全等判断定理
1、判断两个三角形全等的定理中,一定具备三个条件,且起码要有一组边对应相等,所以在找寻全等的条件时,老是先找寻边相等的可能性。
2、要擅长发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要擅长灵巧选择适合的方法判断两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
六、尺规作图
尺规作图:在几何作图中,我们把用没有刻度的直尺和圆规作图,简称尺规作图.
1。基本作图作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、
2。作线段的中垂线、作角的均分线、中垂线角均分线在一同作、
、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高
作法:有规命名称时需分外注意字母的标明
注意务必考虑三角形的各因素(类比于三角形全等的判断条件).
七、定义、命题与证明
1。定义:能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2。命题:定义:判断某一件事情的句子
构造:由条件和结论两部分构成.
句式改写:假如那么
分类:真命题经过推理的方式来判断、人们经过长久实践公认为正确的
假命题经过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例)
、抗命题互逆定理原定理、逆定理
每个命题都有它的抗命题,但每个真命题的抗命题不必定是真命题。
:从命题的条件出发,依据已知的定义、基本领实、定理(包含推论)、一步一步推得结论成立
的推理过程。
证明几何命题的格式:(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论,联合图形,在已知中写出条件,在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。
在解决几何问题时,有时需要增添协助线。添协助线的过程要写入证明中,协助线往常画成虚线。
第二章特别三角形
一、图形的轴对称
轴对称图形定义:一个沿着一条直线折叠后,直线双侧的部分能够相互重合图形.
对称轴:定义、地点确实定、条数、对称点、作图、
性质:对称轴垂直均分连结两个对称点的线段
图形的轴对称定义、性质:成轴对称的两个图形是全等图形。
二、等腰三角形
:
边—-等腰三角形两腰相等;
角——等腰三角形两底角相等(即在同一个三角形中,等边平等角);
线—-等腰三角形三线合一,这三线是指顶角的均分线、底边上的高线、底边上的中线,也就是说一条线段
充任三种身份;是常添的协助线
等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有
1条或3条。
:
边-—有两条边相等的三角形是等腰三角形
;
(注意:有两腰相等的三角形是等腰三角形,这句话对吗?)
角——有两内角相等的三角形是等腰三角形
(即在同一个三角形中,等角平等边)。
:
等边三角形各条边相等
。
,各内角相等,且都等于60;三线合一在每边上都成立.
等边三角形是轴对称图形
,它有3条对称轴。
:
边-—有三条边相等的三角形是等边三角形
;
角-—;有两个角都是60。的三角形是等边三角形;
边角——有一个角是
60。的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形
:
角——直角三角形两锐角互余;
边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
边-—直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理)
2
2
2
。a+b=c
30°角所对的直角边等于斜边的一半.
:
角—-有一个角是直角的三角形是直角三角形;
角——有两个角互余的三角形是直角三角形;
边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。
边——一条边上的中线等于该边长度的一半,那么该三角形是直角三角形,(但不可以直接拿来判断某三角形是直角三角形,但有助于解题。)
:
边——斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
四、要点解读
,应要点分清性质与判断的差别,二者不可以混杂。一般而言,依据边角关系判断一个图
形形状往常用的是判断,而依据图形形状获得边角关系那就是性质;
,即先有等腰三角形,后有
腰,所以在判断一个三角形是等腰三角形时千万不可以将原因说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形
;
,并且它也是此后研究直角三角形问
题较为常用的协助线,娴熟掌握能够为解题带来许多方便;
,解题时应注意分清哪条是斜边,哪条
是直角边,不要一看到字母“c"就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4,就认为另一边必定
是5;
5.“HL”是仅合用于判断直角三角形全等的特别方法,只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下,
此方法才有效,自然,从前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判断一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判断相同有效。
牢记!!!两边及此中一边的对角对应相等的两个三角形不必定全等,也就是边边角,没有边边角定理。所以在证明全等时千万不要这样做.
本章解题时用到的主要数学思想方法:
⑴分类议论思想(特别是在语言模糊的等腰三角形中所求的边、角、周长等)
⑵方程思想:主要用在折叠以后产生直角三角形时,运用勾股定理列方程;还有就是在等腰三角形中求
角度,求边长
⑶等面积法
(4)解决几何问题时,主要从几何图形边、角、线三方面下手,分别从题中、图中找已知条件
第三章一元一次不等式的知识点
一。不等式的观点:
一般的,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥"),“≠"连结的式子叫做不等式。不等式中能够
含有未知数,也能够不含)
用不等号连结的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,左右两边为整式的式子叫做
一元一次不等式。
二、不等式的性质:
性质1:假如a〉b,b>c那么a〉c
性质2:假如a〉b,那么a±c〉b±c
即不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
性质3:假如a〉b,c>0,那么ac〉bc(或a/c>b/c)
假如a>b,c<0,那么ac〈bc(或a/c〈b/c)
即不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
注;不等式的两边都乘以0,不等号变等号.
三、一元一次不等式:
,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1次的不等式,叫做一元一次不等式。
2。一元一次不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
(2)一个有未知数的不等式的全部解,构成这个不等式的解集。
(3)求一元一次不等式解集的过程叫做解不等式。
(4)不等式(组)的特别解——有限的一个或几个解。
四、解一元一次不等式的一般步骤:(每步的依照),(每步需注意的事项)
1、去分母
(不等式性质
2)
(没分母的也要乘,多项式分子放进括号内)
2、去括号
(去括号法例)
(
负数乘进去时每项都变号)
3、移项
(不等式性质
1)
(
挪动的项要变号)
4、归并同类项(归并同类项法例)
(运算法例要娴熟)
5、将未知数的系数化为
1(不等式性质
2)(
乘、除以负数时要变向)
6、在数轴上表示不等式的解集
:
(1)一般的,对于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一同,就构成一个一元一次不等式组。
(2)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组
解集的过程,叫做解不等式组。
(3)不等式组的解的求解过程分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公
共部分作为不等式组的解(若没有公共部分则无解)。
口诀:大大取大,小小取小,大小小大两头夹,大大小小是无解
六、列一元一次不等式(组)解应用题
步骤参照列一元一次方程解应用题,不过最后答的时候写的数值可能要用到取近似数的各样方法。
方案设计题主要经过解不等式组解决。
两条直线的交点坐标也能够经过解不等式组解决。
:
(1)利用数轴法;右侧的点表示的数总比左侧的大
(2)直接比较法;照法例比较就是了
(3)差值比较法;差大于等于0时,被减数大于等于减数
(4)商值比较法;商大于等于1时,被除数大于等于除数
(5)利用特别比较法。(在波及代数式的比较时,还要适合的使用分类议论法)
不等式解集的表示方法:
1)用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来,
2)用数轴表示:不等式的解集能够在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无穷多个解,用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定界限限;二是定方向。
1。一元一次不等式的定义:
1)不等式左右两边都是整式;
2)不等式中只含一个未知数;
未知数最高次数是1.
注:一元一次不等式的解集不是详细的几个数,而是一个范围,会合。
2。一元一次不等式与一次函数的综合运用:
一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。
解一元一次不等式组的步骤:(1)求出每个不等式的解集;
(2)求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)
(3)用代数符号语言来表示公共部分.(也能够说成是下结论)
:
(1)对于x不等式(组):{x≥a}{x≤a}的解集为:x=a
(2)对于x不等式(组):{x>a}{x<a}的解集是空集。
第四章图形与坐标
一、确立地点的方法:
确立物体在平面上的地点有两种常用的方法:
1、有序数对法:用一对有序实数确立物体的地点.
这类确立方法要注意有序,要规定将什么写在前,什么写在后。
2、方向、距离法:用方向和距离确立物体的地点(或称方向)。
这类确立方法要注意参照物的选择,语言表达要正确、清楚。
二、平面直角坐标系观点:
在平面内,两条相互垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系,水平的数轴叫x轴或横轴;铅垂
的数轴叫y轴或纵轴,两数轴的交点O称为原点。
三、点的坐标:在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫
P点的横坐标和纵坐标,则有序实数对(a、b)叫做P点的坐标。
四、在直角坐标系中怎样依据点的坐标:找出这个点,方法是由P(a、b),在x轴上找到坐标为a的点
A,过A作x轴的垂线,再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的垂线,两垂线的交点即为所找的P
点.
五、怎样依据已知条件成立适合的直角坐标系?
依据已知条件成立坐标系的要求是尽量使计算方便,一般地没有明确的方法,但有以下几条常用的方
法:
1。以某已知点为原点,使它坐标为(0,0);
2、以图形中某线段所在直线为x轴(或y轴);
3、以已知线段中点为原点;
4、以两直线交点为原点;
5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。
六、各象限上及x轴,y轴上点的坐标的特色:
第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-)x轴上的点纵坐标为
0,表示为(x,0);y轴上的点横坐标为0,表示为(0,y)
七、图形“纵横向伸缩”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别变为本来的n倍时,所得的图形比本来的图形在
横向:①当n>1时,伸长为本来的n倍;②当0〈n<1时,压缩为本来的n倍。
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别变为本来的n倍时,所得的图形比本来的图形在纵
向:①当n〉1时,伸长为本来的n倍;②当0〈n〈1时,压缩为本来的n倍。
八、图形“纵横向地点”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别加上a,所得的图形形状、大小不变,而地点向右
(a>0)或向左(a<0)平移了|a|个单位。
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别加上b,所得的图形形状、大小不变,而地点向上
b〉0)或向下(b〈0)平移了|b|个单位。
平移变换的坐标变化规律是:左正右负,上正下负
九、图形“倒转与对称"的变化规律:
1、将图形上各个点的横坐标不变,纵坐标分别乘以—1,所得的图形与本来的图形对于x轴对称。(对于
轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标互为相反数)
2、将图形上各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,所得的图形与本来的图形对于y轴对称。(对于y
轴对称的两点:纵坐标相同,横坐标互为相反数)
3、将图形上各个点的横坐标分别乘以—1,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与本来的图形对于原点对称。
(对于原点对称的两点:横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数)
十、图形“扩大与减小"的变化规律:
将图形上各个点的纵、横坐标分别变本来的n倍(n>0),所得的图形与原图形对比,形状不变;①当
n>1时,对应线段大小扩大到本来的n倍;②当0〈n〈1时,对应线段大小减小到本来的n倍。
第五章一次函数
(一)函数
1、变量:在某个变化过程中能够取不一样数值的量。
常量:在某个变化过程中固定不变的量.
2、函数:一般的,在某个变化过程中,设有两个变量x、y,假如对于x的每一个确立的值,y都有独一
确立的值,那么就说y是x的函数;x称为自变量。
(判断y能否为x的函数,只需看x取值确立的时候,y能否有独一确立的值与之对应)
3、自变量的取值范围:,一个函数中的自变量同意取值的范围.
4、确立函数自变量的取值范围的方法:
(1)关系式为整式时,为全体实数;
2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
3)关系式含有二次根式时,被开平方式大于等于等于零;
4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
5)实质问题中,函数定义域还要和实质状况相切合,使之存心义。
5、函数的分析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的分析式
6、函数的图像
一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点构成的图形,就是这个函数的图象.
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值
对应的各点);第三步:连线(依照横坐标由小到大的次序把所描出的各点用光滑曲线连结起来)。
8、函数的表示方法
列表法:了如指掌,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律.
分析式法:简单了然,能够正确地反应整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实质问题中的函数关系,不可以用分析式表示。
图象法:形象直观,但只好近似地表达两个变量之间的函数关系.
(二)一次函数
1、一次函数的定义
一般地,形如ykxb(k,b是常数,且k
0)的函数,叫做一次函数,,
一次函数ykx,又叫做正比率函数。
⑴一次函数的分析式的形式是ykxb,要判断一个函数是不是一次函数,
就是判断能否能化成以上
形式.
⑵当b0,k0时,ykx还是一次函数.
⑶当b0,k0时,它不是一次函数.
⑷正比率函数是一次函数的特例,一次函数包含正比率函数.
2、正比率函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比率函数,此中k叫做比率系数.
注:正比率函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k〉0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上涨,即随x的增大y也增大;当k<0时,?直线y=kx
经过二、四象限,从左向右降落,即随x增大y反而减小.
分析式:y=kx(k是常数,k≠0)
必过点:(0,0)、(1,k)
(3)走向:k〉0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限
增减性:k〉0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:|k|越大,直线越峻峭,越靠近y轴;|k|越小,直线越平展,越靠近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以
说正比率函数是一种特别的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取随意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可
k
以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度获得。(当b>0时,向上平移;当b〈0时,向下平移)
(1)分析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)(2)必过点:(0,b)和(—b,0)
k
(3)走向:k〉0,图象经过第一、三象限;k〈0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
0b0
0b0
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、二、四象限
0b0
0b0
直线经过第一、三、四象限
直线经过第二、三、四象限
(4)增减性:k〉0,y随x的增大而增大;k〈0,y随x增大而减小。
(5)倾斜度:|k|越大,图象越靠近于y轴;|k|越小,图象越靠近于x轴。
6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
kkx
bk0
函数
k,b
k
0
k0
符号
b0
b
0
b0
b0
b0
b0
yyy
图象
OxOxOx
性质y随x的增大而增大
yyy
OxOxOx
y随x的增大而减小
4、一次函数y=kx+b的图象的画法。
依据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只好画出一条直线,即两点确立一条直线,所以画一次
函数的图象时,只需先描出两点,再连成直线即可。一般状况下:是先选用它与两坐标轴的交点:(0,
b),。即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0b〈0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k〉0
图象从左到右上涨,y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k〈0
图象从左到右降落,y随x的增大而减小
5、正比率函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它能够看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而获得(当b〉
0时,向上平移;当b〈0时,向下平移)
6、用待定系数法确立函数关系式
一般步骤:
(1)依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中获得以待定系数为未知数的方程;
3)解方程得出未知系数的值;
4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的分析式。使用环境
(1)给出系数不确立的函数关系式(2)明确指出哪种函数关系
(3)实质问题中的数目关系(4)先画出图像再猜想函数种类
变量的值给出的四种不一样方式
(1)当句式(2)在表格中出现
(3)以点的坐标形式体现(4)从图像中找点
7、一、三象限角均分线是直线
y=x,二、四象限角均分线是直线y=-x
8、两条直线的交点坐标能够经过求解方程组获得
9、实质问题情境中的图像一定在自变量的取值范围内画出
.
10、正比率函数和一次函数及性质
正比率函数
一次函数
概
念
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那
的函数叫做正比率函数,此中k
么y叫做x的一次函数。当b=0时,是y=kx,
叫做比率系数
所以说正比率函数是一种特别的一次函数。
自变量
X为全体实数
范
围
图
象
一条直线
必过点
(0,0)、(1,k)
(0,b)和(-b,0)
k
走
向
k〉0时,直线经过一、三象限;
k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限
k<0时,直线经过二、四象限
k>0,b<0直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0直线经过第二、三、四象限
增减性k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上涨)
k〈0,y随x的增大而减小。(从左向右降落)
倾斜度|k|越大,越靠近y轴;|k|越小,越靠近x轴
图像的
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移
平移
〈b0时,将直线y=kx的图象向下平移
b
b
个单位;
个单位.
11、直线yk1x
b1(k1
0)与y
k2xb2(k20)的地点关系
(1)两直线平行
k1
k2且b1
b2
(2)两直线订交
k1k2
(3)两直线重合
k1
k2且b1
b2
(4)两直线垂直
k1k21