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相似三角形
一、知识概述
(一)相似三角形
1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
温馨提示:
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可;
②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等;
③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例,其应用广泛.
2、相似三角形对应边的比叫做相似比.
温馨提示:
①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:
∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE;
②,同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”;
③有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定:
判定定理(1):两角对应相等,两三角形相似.
判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似.
温馨提示:
①有平行线时,用上节学****的预备定理;
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时,可考虑利用判定定理(1)或判定定理(2);
③已有两边对应成比例时,,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.
2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
温馨提示:
①由于直角三角形有一个角为直角,因此,在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用判定定理1,或两条直角边对应成比例,用判定定理2,一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形,图中的三角形,可称为“母子相似三角形”,其应用较为广泛.
③如图,可简单记为:在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD∽△ACD.
(三)三角形的重心
1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.
二、重点难点疑点突破
1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
:
(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角;相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;
(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)一定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角.
2、常见的相似三角形的基本图形:
学****三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较,把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆;对相似三角形的判定思路要善于总结,:
(1)“平行线型”相似三角形,基本图形见上节图.“见平行,想相似”是解这类题的基本思路;
(2)“相交线型”相似三角形,.“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;
(3)“旋转型”相似三角形,∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.
温馨提示:
从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法,“平行线型”是常见的,这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序,“相交线型”识图较困难,解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.
三、解题方法技巧点拨
1、寻找相似三角形的个数
例1、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点、线都在同一平面内,回答下列问题:
(1)图中共有多少个三角形?把它们一一写出来;
(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗?如果有,就把它们一一写出来.
分析:(1)在△ABC内,有五个三角形,加上△ABC与△AFG,共有七个三角形.
(2)“不包括全等”,图中还剩五个非直角三角形,考虑到题设中两个三角形摆放的随意性,∠1不一定等于∠2,而∠B=∠C=45°,∠3、∠4都为钝角,又排除△ABD与△ACE相似,还剩三个三角形,这三个三角形相似.
解:(1)共有七个三角形,它们是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC与△AFG.
(2)有相似三角形,它们是△ABE∽△DAE,△DAE∽△DCA,△ABE∽△DCA(或△ABE∽△DAE∽△DCA).
点拨:①解决这类计数问题,一定要依据图形与定理,全面、周密思考,做到不重不漏,这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成;
②有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系?
2、画符合要求的相似三角形