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《数学》(八年级上册)知识点总结(北师大版)
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《数学》(八年级上册)知识点总结(北师大版)
第一章勾股定理
1、勾股定理-----已知直角三角形,得边的关系
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
2、勾股定理的逆定理-----由边的关系,判断直角三角形
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:满足的三个正整数a,b,c,称为勾股数。
常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)……
规律:(1)、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a<b时,如果,那么a,b,c就是一组勾股数.
如:(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)……
(2)大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:
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一、实数的概念及分类
1、实数的分类
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2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等根号a(a为非完全平方数或非立方数)。
(2)有特定意义的数,如圆周率π(π=…),或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,…;……(相邻两个5之间8的个数逐次加1等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=
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—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;
(2)要求记忆:.
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三、平方根、算数平方根和立方根
:
(1)概念:如果,那么是的平方根,记作:;读作“正、负根号”,
其中叫做的算术平方根,读作根号。
(2)性质:①当≥0时,≥0;当<0时,无意义;
②=;③。(区分②、③)
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(3)开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意:的双重非负性:
:
(1)概念:若,那么是的立方根(或三次方根),记作:;
(2)性质:①;②;③=
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性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分:平方根、立方根的性质
根源:开平方是平方的逆运算;开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正,所以,只有非
负数才可以开平方,因此一个非0正数开平方后有2个;而任何数的立方后的符号与原数的
符号一致,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1个,符号与原数的符号也一
致。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右
边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表
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示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:
①设,则
②设,则。
③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
如:比较与;与
(6)倒数法:设,则;设,则
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规律:同号取倒(数)反向
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数必须是非负数,即:。
2、性质:
(1)非负性
(2)(中前提,被开方数)
(3)(中隐含被开方数)
(4);()(前提根号要有意义)
(5);()(前提式子和根号要有意义,)
拓展:三个重要非负数:.注意:非负数之和为0它们都是0.
3、运算结果若含有“”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方
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